Mostre que a energia interna de um gás ideal em função da temperatura, pode ser escrito como:
U(T)=\frac{3}{2} n R T

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal monoatômico, a energia interna U depende apenas da temperatura T e é dada por
U(T)=\frac{3}{2}\,nRT.
Aqui vamos usar conceitos de teoria cinética dos gases (energia cinética média das moléculas) e a relação entre constantes k_B, N_A e R.

Passo 2

Na teoria cinética, cada molécula de um gás monoatômico tem apenas graus de liberdade de translação (três: x, y e z). Pelo teorema da equipartição de energia, cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}k_B T para a energia média por molécula. Logo, a energia cinética média por molécula é
\langle \varepsilon_{\text{cin}}\rangle = 3 \times \frac{1}{2}k_B T = \frac{3}{2}\,k_B T.

Passo 3

Se o gás tem N moléculas, a energia interna total é a soma dessas energias cinéticas médias:
U = N \,\langle \varepsilon_{\text{cin}}\rangle = N \,\frac{3}{2}\,k_B T = \frac{3}{2}\,N k_B T.

Passo 4

Agora usamos que o número de moléculas é N = n\,N_A e que a constante universal dos gases é R = N_A k_B. Substituindo:
U = \frac{3}{2}\,(n\,N_A)\,k_B\,T = \frac{3}{2}\,n\,(N_A k_B)\,T = \frac{3}{2}\,n\,R\,T.

Resposta

U(T)=\frac{3}{2}\,nR T.

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