Mostre que a entropia molar de um gás ideal em função do volume e da temperatura, para o estado inicial ( V_{i}, T_{i} ) e final ( V_{f}, T_{f} ), é dada por:
S(V, T)=C_{v} \ln T+R \ln V+\text { cons } \tan t e
Admitindo $\mathrm{C}_{
v}$ constante.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a expressão da entropia molar S de um gás ideal em função do volume V e da temperatura T, assumindo C_{v} constante, e relacionar os valores nos estados inicial (V_{i},T_{i}) e final (V_{f},T_{f}). Vamos usar a primeira e a segunda leis da termodinâmica e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Para um processo reversível a segunda lei diz que
dS = \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T}\,.
Pela primeira lei temos
\delta Q_{\rm rev} = dU + p\,dV.

Passo 3

Em um gás ideal monatomic (ou poliatômico qualquer com C_{v} constante) vale
dU = C_{v}\,dT \quad\text{e}\quad pV = R\,T\;\Longrightarrow\;p = \frac{R\,T}{V}.
Substituindo em dS obtemos
dS = \frac{C_{v}\,dT + p\,dV}{T} = \frac{C_{v}\,dT}{T} + \frac{R\,T}{V}\,\frac{dV}{T} = C_{v}\,\frac{dT}{T} + R\,\frac{dV}{V}.

Passo 4

Integrando entre o estado inicial e o final:
\Delta S = S(V_{f},T_{f}) - S(V_{i},T_{i}) = \int_{T_{i}}^{T_{f}}C_{v}\,\frac{dT}{T} + \int_{V_{i}}^{V_{f}}R\,\frac{dV}{V}.
Essas integrais são triviais:
\Delta S = C_{v}\,\ln\frac{T_{f}}{T_{i}} + R\,\ln\frac{V_{f}}{V_{i}}.

Passo 5

Podemos então escrever a entropia molar em função de V e T até uma constante aditiva (que depende da referência escolhida):
S(V,T) = C_{v}\,\ln T + R\,\ln V + \text{constante}.

Resposta

S(V,T)=C_{v}\,\ln T + R\,\ln V + \text{constante}, \quad \Delta S = C_{v}\,\ln\frac{T_{f}}{T_{i}} + R\,\ln\frac{V_{f}}{V_{i}}\,.

Exercícios relacionados