Mostre que a entropia molar de um gás ideal em função da pressão e da temperatura, para o estado inicial ( \mathrm{P}_{\mathrm{i}}, \mathrm{T}_{\mathrm{i}} ) e final ( \mathrm{P}_{\mathrm{f}}, \mathrm{T}_{\mathrm{f}} ), é dada por:
S(P, T)=C p \ln T-R \ln P+\text { cons } \tan t e
Admitindo $\mathrm{C}_{
p}$ constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal com C_{p} constante, a entropia molar pode ser escrita em função de P e T como
S(P,T)=C_{p}\ln T - R\ln P + \text{constante}.
O conteúdo usado será a definição de entropia em processo reversível e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Em um processo reversível vale
dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Usando a entalpia, temos \delta Q_{\text{rev}} = dH - V\,dP, logo
dS = \frac{dH - V\,dP}{T}.
Para gás ideal com C_{p} constante:
H = C_{p}T \quad\Rightarrow\quad dH = C_{p}\,dT,
V = \frac{R\,T}{P}.
Substituindo em dS, obtemos
dS = \frac{C_{p}\,dT}{T} \;-\;\frac{R\,dP}{P}.

Passo 3

Agora integramos de (P_{i},T_{i}) a (P_{f},T_{f}):
\int_{S_{i}}^{S_{f}} dS = C_{p}\!\int_{T_{i}}^{T_{f}}\frac{dT}{T} - R\!\int_{P_{i}}^{P_{f}}\frac{dP}{P}.
Isso dá
S_{f}-S_{i} = C_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{i}} - R\ln\frac{P_{f}}{P_{i}}.

Passo 4

Reescrevendo para uma entropia genérica S(P,T), agrupamos
S(P,T) = S_{i} + C_{p}\ln\frac{T}{T_{i}} - R\ln\frac{P}{P_{i}} = C_{p}\ln T \;-\;R\ln P \;+\;\underbrace{\bigl(S_{i}-C_{p}\ln T_{i}+R\ln P_{i}\bigr)}_{\text{constante}}.

Resposta

S(P,T)=C_{p}\ln T \;-\;R\ln P \;+\;\text{constante}.

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