Mostre que um gás ideal segue a regra cíclica em P, v e T.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que um gás ideal obedece à regra cíclica envolvendo as variáveis P, v e T.
Informações dadas e definidas explicitamente:
  • A equação de estado do gás ideal (para uma quantidade fixa de matéria, por exemplo 1 mol) é \;P\,v = R\,T, onde:
    • \;P: é a pressão,
    • \;v: é o volume molar (volume por mol),
    • \;T: é a temperatura absoluta,
    • \;R: é a constante universal dos gases.
  • O objetivo é mostrar a relação entre derivadas parciais conhecida como “regra cíclica” para as três variáveis acima.

Passo 2

O que é a regra cíclica? Vou explicar devagar. Suponha três variáveis \;x,y,z; relacionadas por alguma equação que as liga. A regra cíclica diz que as derivadas parciais satisfazem
\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z} \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_{x} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} = -1.
Aqui cada derivada parcial \left(\frac{\partial a}{\partial b}\right)_{c} significa: variar \;b; enquanto mantém \;c; fixo, e medir a taxa de variação de \;a;. Essa é uma consequência da regra da cadeia e da dependência implícita entre as três variáveis. Nosso objetivo é calcular explicitamente essas três derivadas para \;x=P,\;y=v,\;z=T; usando a equação do gás ideal e mostrar que o produto é -1.

Passo 3

Primeiro, escrevo \;P; como função de \;v; e \;T; usando a lei dos gases ideais:
P = \frac{R\,T}{v}.
Agora calculo a derivada parcial de \;P; em relação a \;v; mantendo \;T; constante. Aqui T é tratado como constante e R também é constante. A derivada de v^{-1} é -v^{-2}, então
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} = \frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{R\,T}{v}\right)_{T} = R\,T \cdot \frac{\partial}{\partial v}\!\left(v^{-1}\right) = R\,T \cdot (-v^{-2}).
Portanto
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} = -\frac{R\,T}{v^{2}}.

Passo 4

Agora escrevo \;v; como função de \;T; e \;P; a partir da mesma equação:
v = \frac{R\,T}{P}.
Calculo a derivada parcial de \;v; em relação a \;T; mantendo \;P; constante. Aqui P é tratado como constante:
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} = \frac{\partial}{\partial T}\!\left(\frac{R\,T}{P}\right)_{P} = \frac{R}{P}.
Portanto
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} = \frac{R}{P}.

Passo 5

Finalmente escrevo \;T; como função de \;P; e \;v;:
T = \frac{P\,v}{R}.
Calculo a derivada parcial de \;T; em relação a \;P; mantendo \;v; constante. Aqui v e R são constantes:
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{v} = \frac{\partial}{\partial P}\!\left(\frac{P\,v}{R}\right)_{v} = \frac{v}{R}.
Portanto
\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{v} = \frac{v}{R}.

Passo 6

Agora multiplico as três derivadas parciais que calculei:
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{v} = \left(-\frac{R\,T}{v^{2}}\right) \left(\frac{R}{P}\right) \left(\frac{v}{R}\right).
Vou simplificar passo a passo.
  • Multiplicando numeradores e denominadores:
\text{produto} = -\frac{R\,T \cdot R \cdot v}{v^{2} \cdot P \cdot R} = -\frac{R\,T}{P\,v}.
  • Agora uso a equação do gás ideal \;P\,v = R\,T; para substituir \;R\,T = P\,v;. Assim
-\frac{R\,T}{P\,v} = -\frac{P\,v}{P\,v} = -1.

Passo 7

Cheguei ao resultado desejado: o produto das três derivadas parciais é -1. Isso mostra explicitamente que o gás ideal satisfaz a regra cíclica entre \;P,\;v e \;T, conforme a relação geral para três variáveis ligadas por uma equação de estado.

Resposta

\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{v} = -1

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