Mostre que um gás ideal segue a regra cíclica em
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que um gás ideal obedece à regra cíclica envolvendo as variáveis
,
e
.
Informações dadas e definidas explicitamente:
Informações dadas e definidas explicitamente:
- A equação de estado do gás ideal (para uma quantidade fixa de matéria, por exemplo
mol) é , onde: -
: é a pressão, -
: é o volume molar (volume por mol), -
: é a temperatura absoluta, -
: é a constante universal dos gases.
-
- O objetivo é mostrar a relação entre derivadas parciais conhecida como “regra cíclica” para as três variáveis acima.
Passo 2
O que é a regra cíclica? Vou explicar devagar. Suponha três variáveis
; relacionadas por alguma equação que as liga. A regra cíclica diz que as derivadas parciais satisfazem
Aqui cada derivada parcial
significa: variar
; enquanto mantém
; fixo, e medir a taxa de variação de
;. Essa é uma consequência da regra da cadeia e da dependência implícita entre as três variáveis. Nosso objetivo é calcular explicitamente essas três derivadas para
; usando a equação do gás ideal e mostrar que o produto é
.
Passo 3
Primeiro, escrevo
; como função de
; e
; usando a lei dos gases ideais:
Agora calculo a derivada parcial de
; em relação a
; mantendo
; constante. Aqui
é tratado como constante e
também é constante. A derivada de
é
, então
Portanto
Passo 4
Agora escrevo
; como função de
; e
; a partir da mesma equação:
Calculo a derivada parcial de
; em relação a
; mantendo
; constante. Aqui
é tratado como constante:
Portanto
Passo 5
Finalmente escrevo
; como função de
; e
;:
Calculo a derivada parcial de
; em relação a
; mantendo
; constante. Aqui
e
são constantes:
Portanto
Passo 6
Agora multiplico as três derivadas parciais que calculei:
Vou simplificar passo a passo.
- Multiplicando numeradores e denominadores:
- Agora uso a equação do gás ideal
; para substituir ;. Assim
Passo 7
Cheguei ao resultado desejado: o produto das três derivadas parciais é
. Isso mostra explicitamente que o gás ideal satisfaz a regra cíclica entre
e
, conforme a relação geral para três variáveis ligadas por uma equação de estado.