Usando a rede termodinâmica, mostre que para um gás ideal
u=u(\text { somente da } T)

Passo 1

O que o exercício pede: mostrar, usando relações termodinâmicas, que a energia interna \,u\, de um gás ideal depende somente da temperatura, ou seja:
u = u(\text{somente de } T).
Informações relevantes dadas (ou que vamos usar porque são padrão para gás ideal):
  • A variável \,u\, é a energia interna por mol (ou por unidade de massa, se preferir; vou usar grandezas molares para ser concreto).
  • \,T\, é a temperatura absoluta.
  • \,p\, é a pressão e \,v\, é o volume molar.
  • A equação de estado do gás ideal (molar) é
p\,v = R\,T,
onde \,R\, é a constante dos gases.
  • Vou usar as relações fundamentais da termodinâmica (primeira e segunda leis combinadas) e uma relação de Maxwell que conecta derivadas parciais entre entropia e pressão. Não é necessário saber mais dados além disso.

Passo 2

Começamos pela relação diferencial fundamental que conecta variações infinitesimais da energia interna, entropia e volume. Para um processo reversível a partir da primeira e segunda leis temos:
du = \delta Q_{\text{rev}} - \delta W_{\text{rev}} = T\,ds - p\,dv.
Aqui eu explico cada símbolo:
  • \,du\, é a variação infinitesimal da energia interna por mol;
  • \,T\, é a temperatura absoluta;
  • \,ds\, é a variação infinitesimal da entropia molar;
  • \,p\,dv\, é o trabalho reversível de pressão ( p vezes variação do volume molar).
    Essa identidade vale para estados e, portanto, é uma relação entre diferenciais de funções de estado.

Passo 3

Agora escrevo \,u\, como função de \,T\, e \,v\, (isso é sempre possível localmente): suas variações totais são
du = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} dT + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} dv.
Explico: \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} é a derivada parcial de u em relação a T mantendo v constante; e \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} é a derivada parcial de u em relação a v mantendo T constante.

Passo 4

Também podemos escrever o diferencial da entropia \,s\, como função de \,T\, e \,v\,:
ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} dv.
Substituo essa expressão de ds na relação du = T\,ds - p\,dv:
du = T\left[\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} dv\right] - p\,dv.
Agrupando os termos em dT e dv obtemos
du = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v} dT + \left[T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} - p\right] dv.

Passo 5

Comparando a expressão do Passo 3 com a do Passo 4 (os coeficientes de dT e dv devem ser iguais porque dT e dv são independentes), obtemos duas identidades úteis:
\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}
e
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} - p.
A primeira relaciona a derivada de u com respeito a T ao calor específico (ver comentário abaixo). A segunda é a que nos interessa para mostrar dependência com v.
Comentário didático rápido: a primeira identidade é a definição útil do calor específico molar a volume constante:
C_{v} \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} = T\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{v}.
Assim du = C_{v}\,dT + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} dv.

Passo 6

Precisamos avaliar \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T}. Existe uma relação de Maxwell que nos dá:
\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
Vou justificar brevemente (passo a passo): defina a energia livre de Helmholtz molar \,F = u - T s. Então
dF = du - T\,ds - s\,dT = (T\,ds - p\,dv) - T\,ds - s\,dT = -p\,dv - s\,dT.
Assim \,s = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{v} e \,p = -\left(\frac{\partial F}{\partial v}\right)_{T}. Tomando derivadas cruzadas e usando a igualdade das derivadas segundas mistas:
\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_{T} = -\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{v} = -\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial v}\right)_{T} = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
Portanto a igualdade está justificada.

Passo 7

Voltando à expressão de \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} do Passo 5 e substituindo a relação do Passo 6, obtemos
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} - p.
Agora usamos a equação de estado do gás ideal \,p\,v = R\,T, que implica
p = \frac{R\,T}{v}.
Calculamos a derivada parcial a volume constante:
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} = \frac{R}{v}.
Substituindo na expressão anterior:
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = T\cdot\frac{R}{v} - p.
Mas como p = \dfrac{R\,T}{v}, o termo T\cdot\frac{R}{v} é exatamente p. Assim
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = p - p = 0.

Passo 8

Conclusão lógica: \left(\dfrac{\partial u}{\partial v}\right)_{T} = 0 significa que, à temperatura fixa, a energia interna não varia quando mudamos o volume. Isso quer dizer que u não depende de v — dependendo apenas de T. Matematicamente:
u = u(T).
Na prática de prova: a partir daqui você pode também escrever du = C_{v}\,dT. Se o gás for monoatômico ideal (gás perfeito caloricamente ideal), C_{v} = \tfrac{3}{2}R e assim u = \tfrac{3}{2}R\,T + \text{constante} (a constante pode ser fixada pela escolha da origem da energia).

Resposta

u = u(\text{somente de } T)

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