Os operadores mecânico-quânticos são lineares sendo assim, realize as seguintes:
\hat{A}\left(x y^{3}\right), onde \hat{A}=\frac{\partial}{\partial y}

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o operador \hat A = \frac{\partial}{\partial y}
na função f(x,y)=x\,y^3.
O conteúdo aqui é a derivação parcial em relação a y e a linearidade do operador.

Passo 2

Pela linearidade de \hat A e por x ser constante em relação a y, temos
\hat A(x\,y^3) \;=\; x\;\hat A(y^3)\,.

Passo 3

Sabemos que
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^3\bigr) = 3\,y^2.
Logo,
\hat A(y^3) = 3\,y^2 \quad\Longrightarrow\quad \hat A(x\,y^3) = x\cdot 3\,y^2 = 3\,x\,y^2.

Resposta

\hat A(x\,y^3)=3\,x\,y^2

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