Mostre que o valor da função
f(z)=\left(\frac{z}{\bar{z}}\right)^{2}
em cada ponto não nulo dos eixos real e imaginário, nos quais z=(x, 0) e z=(0, y), respectivamente, é igual a 1, que o valor dessa unção em cada ponto não nulo z=(x, x) da reta y=x é igual a -1 . Conclua disso que não existe o limite dessa função se z tende a zero. [ Observe que não é suficiente considerar simplesmente os pontos não nulos z=(x, 0) e z=(0, y), como fizemos no Exemplo 2 da seção 15.]

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
f(z)=\Bigl(\frac{z}{\bar{z}}\Bigr)^{2}
em três famílias de pontos não nulos que se aproximam de zero:
  1. Eixo real: z=(x,0), x\neq0.
  2. Eixo imaginário: z=(0,y), y\neq0.
  3. Reta y=x: z=(x,x), x\neq0.
    Em cada caso usamos a definição de conjugado \bar z e cálculo direto de frações de números complexos para obter o valor de f(z).

Passo 2

Para z=(x,0) com x\neq0 temos \bar z=x. Logo
\frac{z}{\bar z}=\frac{x}{x}=1
e portanto
f(z)=1^{2}=1.

Passo 3

Para z=(0,y)=i\,y com y\neq0 temos \bar z=-i\,y. Logo
\frac{z}{\bar z}=\frac{i\,y}{-\,i\,y}=-1
e portanto
f(z)=(-1)^{2}=1.

Passo 4

Para z=(x,x)=x(1+i) com x\neq0 temos \bar z=x(1-i). Então
\frac{z}{\bar z} =\frac{1+i}{1-i} =\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} =\frac{1+2i-1}{1+1} =\frac{2i}{2}=i,
logo
f(z)=i^{2}=-1.

Passo 5

Ao aproximar z\to0 pela reta real ou pela reta imaginária obtemos sempre f(z)=1, mas aproximando pela reta y=x obtemos f(z)=-1. Como esses valores são diferentes, o limite
\lim_{z\to0}f(z)
não existe.

Resposta

Não existe o limite de f(z) quando z\to0.

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