Mostre que o valor da função
em cada ponto não nulo dos eixos real e imaginário, nos quais
e
, respectivamente, é igual a 1, que o valor dessa unção em cada ponto não nulo
da reta
é igual a -1 . Conclua disso que não existe o limite dessa função se z tende a zero. [ Observe que não é suficiente considerar simplesmente os pontos não nulos
e
, como fizemos no Exemplo 2 da seção 15.]
Passo 1
O enunciado pede para avaliar
em três famílias de pontos não nulos que se aproximam de zero:
- Eixo real:
, . - Eixo imaginário:
, . - Reta
: , .
Em cada caso usamos a definição de conjugadoe cálculo direto de frações de números complexos para obter o valor de .
Passo 2
Para
com
temos
. Logo
e portanto
Passo 3
Para
com
temos
. Logo
e portanto
Passo 4
Para
com
temos
. Então
logo
Passo 5
Ao aproximar
pela reta real ou pela reta imaginária obtemos sempre
, mas aproximando pela reta
obtemos
. Como esses valores são diferentes, o limite
não existe.
Resposta
Não existe o limite de
quando
.