Mostre que a variação de entropia para um mistura de
gases ideais, não idênticos, incialmente separados cada um ocupando um volume
, e ao final ocupando um volume
, é igual a:
em que
é o total do número de partículas da mistura e
é a fração molar do componente
.
Passo 1
Beleza, temos C gases ideais (cada um com número de partículas
, volume inicial
) todos na mesma temperatura, mas confinados separadamente. Depois a gente abre as “paredes” e deixa tudo se misturar, ocupando um volume total
Queremos mostrar que a variação de entropia da mistura satisfaz
Conteúdo necessário:
- Fórmula da entropia de um gás ideal monoatômico (Sackur–Tetrode) ou a forma genérica
onde
é o comprimento de onda térmico (depende de
, mas some na hora da variação se
for fixo).
2) Entender que entropia é função de e que, ao misturar, apenas
muda para
.
3) A propriedade aditiva de :
.
2) Entender que entropia é função de
3) A propriedade aditiva de
Passo 2
Vamos calcular a entropia total antes e depois de misturar.
Antes (separados), cada gás tem
Então
Depois de misturar, cada porção
“vê” o volume total
, mas tudo mais (
,
,
) fica igual. Logo
Agora a variação de entropia da mistura é
Mas note que
e o termo
desaparecem na diferença, sobrando só
Passo 3
Para seguir pro resultado pedido, definimos a fração molar
E se a temperatura e a pressão eram as mesmas antes para cada gás, vale
Logo
Dividindo por
, chega-se em