Mostre que a variação de entropia para um mistura de C gases ideais, não idênticos, incialmente separados cada um ocupando um volume Vi, e ao final ocupando um volume V= sumi=1^C Vi, é igual a:
De
em que N é o total do número de partículas da mistura e tildexi é a fração molar do componente i.

Passo 1

Beleza, temos C gases ideais (cada um com número de partículas V ;=;sumi=1^C Vi, , volume inicial De) todos na mesma temperatura, mas confinados separadamente. Depois a gente abre as “paredes” e deixa tudo se misturar, ocupando um volume total
Si = Ni kBl[lnl(tfracViNilambdai^3r)+tfrac52r],
Queremos mostrar que a variação de entropia da mistura satisfaz
Conteúdo necessário:
  1. Fórmula da entropia de um gás ideal monoatômico (Sackur–Tetrode) ou a forma genérica
onde é o comprimento de onda térmico (depende de , mas some na hora da variação se for fixo).
2) Entender que entropia é função de e que, ao misturar, apenas muda para .
3) A propriedade aditiva de : .

Passo 2

Vamos calcular a entropia total antes e depois de misturar.
Antes (separados), cada gás tem
Si^rm antes = Ni kBl[ln!l(tfracViNilambdai^3r)+tfrac52r]
Então
S^rm antes =sumi=1^C Si^rm antes =sumi=1^C Ni kBl[ln!l(tfracViNilambdai^3r)+tfrac52r]
Depois de misturar, cada porção Si^rm depois = Ni kBl[ln!l(tfracVNilambdai^3r)+tfrac52r], “vê” o volume total S^rm depois =sumi=1^C Si^rm depois =sumi=1^C Ni kBl[ln!l(tfracVNilambdai^3r)+tfrac52r] , mas tudo mais ( De, De, ) fica igual. Logo
Agora a variação de entropia da mistura é
Mas note que e o termo desaparecem na diferença, sobrando só

Passo 3

Para seguir pro resultado pedido, definimos a fração molar
tilde xi=NiN, N=sumi Ni
E se a temperatura e a pressão eram as mesmas antes para cada gás, vale
ViV =NiN =tilde xi
Logo
De
Dividindo por De, chega-se em

Resposta

boxedDe

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