A temperatura T de uma sala de aula de uma universidade em um dia frio de inverno varia com o tempo t conforme:
d Td t= 1-T & , se a unidade de aquecimento estiver LIGADA -T & ,se a unidade de aquecimento estiver DESLIGADA
Assim, faça:
Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede:
– Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, do tipo separável.
– Enunciado reduzido: “Quando o aquecedor está desligado, a temperatura T(t) satisfaz
dTdt = -T
– O que precisamos: entender que essa equação é separável e usar integração para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que dTdt = -T é uma equação de variáveis separáveis. Isso significa que podemos “separar” os termos com T de um lado e os termos com t do outro. Em geral, para uma ODE ,dTdt=f(T),, a gente escreve
1f(T),dT = dt
Aqui, f(T)=-T, então fazemos:
dTdt = -T Longrightarrow dTT = -,dt

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral 1T,dT = integral -1 ,dt
No lado esquerdo a integral de 1/T é ln|T|, e no direito a integral de -1 em relação a t é -t, mais uma constante de integração. Logo:
lnlvert Trvert = -,t + C1,
onde C1 é uma constante.

Passo 4

Para isolar T, aplicamos exponencial em ambos os lados:
lvert Trvert = e^-t + C1 = e^C1,e^-t
Como e^C1 é só uma constante positiva, podemos chamar C = pm e^C1 e escrever de forma geral:
T(t) = C,e^-t,
onde C é a constante que vai se ajustar ao valor inicial da temperatura (por exemplo T(0)=T0 daria C=T0).

Resposta

A solução geral da equação diferencial, com a unidade de aquecimento desligada, é
boxedT(t) = C,e^-t,
sendo C = T(0) ou outra constante definida pela condição inicial.

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