A temperatura
de uma sala de aula de uma universidade em um dia frio de inverno varia com o tempo
conforme:
Assim, faça:
Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede:
– Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, do tipo separável.
– Enunciado reduzido: “Quando o aquecedor está desligado, a temperatura satisfaz
– Conteúdo: equação diferencial de primeira ordem, do tipo separável.
– Enunciado reduzido: “Quando o aquecedor está desligado, a temperatura
– O que precisamos: entender que essa equação é separável e usar integração para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é uma equação de variáveis separáveis. Isso significa que podemos “separar” os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Em geral, para uma ODE
, a gente escreve
Aqui,
, então fazemos:
Passo 3
Agora integramos os dois lados:
No lado esquerdo a integral de
é
, e no direito a integral de
em relação a
é
, mais uma constante de integração. Logo:
onde
é uma constante.
Passo 4
Para isolar
, aplicamos exponencial em ambos os lados:
Como
é só uma constante positiva, podemos chamar
e escrever de forma geral:
onde
é a constante que vai se ajustar ao valor inicial da temperatura (por exemplo
daria
).
Resposta
A solução geral da equação diferencial, com a unidade de aquecimento desligada, é
sendo
ou outra constante definida pela condição inicial.