( Segunda Lei de Newton ) O enunciado da 2^ a Lei de Newton diz-nos que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao somatório das forças a que está sujeito:
m a=sumi Fi
Para um corpo em queda livre teremos assim:
m d vd t=m g-k v
em que v é a velocidade do corpo, k o coeficiente de atrito e g a aceleração da gravidade. Rearranjando a equação, obtemos:
d vd t+km v=g
Resolva a equação (7) com v(0)=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a segunda lei de Newton para um corpo em queda com atrito:
mdvdt=m,g-k,v
Reescrevendo:
dvdt+km,v=g
Conteúdo: é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante e depois impor a condição inicial .

Passo 2

Explicando a teoria: uma EDO linear de 1ª ordem tem a forma
dvdt+P(t),v=Q(t)
Aqui mu(t)=e^integral P(t),dt=e^kmt e são constantes. O truque é achar um fator integrante
Multiplicamos a equação original por para deixá-la exata.

Passo 3

Multiplicando tudo por e^kmtdvdt+kme^kmtv = g,e^kmt:
ddtl(v,e^kmtr)=g,e^kmt
O lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 4

Agora integramos em integral ddtl(v,e^kmtr),dt = integral g,e^kmt,dt:
v,e^kmt = g integral e^kmt,dt = gcdotmke^kmt + C
Fica

Passo 5

Isolando v(t)=g,mk + C,e^-kmt:
0=g,mk+CRightarrow C=-g,mk
Agora aplicamos :

Passo 6

Substituindo v(t)=g,mk - g,mke^-kmt = m,gkl(1-e^-kmtr) na expressão de :

Resposta

boxedv(t)=m,gkl(1-e^-kmtr)

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