1. Um motor Diesel admite ar antes do processo de compressão na pressão de 110,325 \mathrm{kPa} e temperatura de 298 K . Este motor atinge a pressão máxima de 5622 kPa e rejeita 180 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de calor. Determine:
    a) a pressão, volume específico e temperatura em cada uma das etapas.
    b) a razão de compressão.
    c) o trabalho líquido transferido em cada uma das etapas.
    d) o rendimento térmico deste motor.
    e) os diagramas P x v e T x s do ciclo Diesel, considerando, como Ponto 1, a entrada da compressão.

Passo 1

O ciclo Diesel ideal consiste de quatro processos sobre o ar tratado como gás perfeito de constantes c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, c_v=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \gamma=1{,}4. Os pontos são:
1\to 2: compressão adiabática reversível;
2\to 3: adição de calor a pressão constante;
3\to 4: expansão adiabática reversível;
4\to 1: rejeição de calor a volume constante.
Dados:
P_{1}=110{,}325\\ \mathrm{kPa},\quad T_{1}=298\\ \mathrm{K},\quad P_{2}=P_{3}=5622\\ \mathrm{kPa},\quad Q_{\mathrm{out}}=180\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 2

Cálculo da razão de compressão r=V_{1}/V_{2} usando
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad r=\Bigl(\tfrac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{1/\gamma} =\Bigl(\tfrac{5622}{110{,}325}\Bigr)^{1/1.4}\approx16{,}6.
Isso responde o item (b).

Passo 3

Estado 1: de \;P_{1}V_{1}=R\,T_{1} com R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{P_{1}} =\frac{0{,}287\cdot298}{110{,}325}\approx0{,}7755\\ \mathrm{m^3/kg}\,.
Compressão adiabática 1\to 2:
T_{2}=T_{1}\,r^{\gamma-1} =298\cdot16{,}6^{0{,}4}\approx917\\ \mathrm{K},\quad v_{2}=\frac{v_{1}}{r}\approx0{,}0467\\ \mathrm{m^3/kg},\quad P_{2}=5622\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Processo 2\to 3 (pressão constante):
\frac{T_{3}}{T_{2}}=\frac{v_{3}}{v_{2}}=\beta \quad\Longrightarrow\quad T_{3}=T_{2}\,\beta,\quad v_{3}=v_{2}\,\beta,
onde \beta é a razão de corte V_{3}/V_{2}, ainda a determinar.

Passo 5

Processo 3\to 4 (adiabático) e conhecimento de Q_{\mathrm{out}}=c_{v}(T_{4}-T_{1}):
T_{4}=T_{1}+\frac{Q_{\mathrm{out}}}{c_{v}} =298+\frac{180}{0{,}718}\approx548{,}3\\ \mathrm{K}.
Relação adiabática de 3\to 4 em volumes:
\frac{T_{4}}{T_{3}}=\Bigl(\frac{V_{3}}{V_{4}}\Bigr)^{\gamma-1} =\Bigl(\frac{\beta\,v_{2}}{v_{1}}\Bigr)^{\gamma-1} =\Bigl(\tfrac{\beta}{r}\Bigr)^{0{,}4}.
Substituindo T_{3}=T_{2}\beta e resolvendo para \beta
\beta\approx1{,}546.
Então
T_{3}=917\cdot1{,}546\approx1417\\ \mathrm{K},\quad v_{3}=0{,}0467\cdot1{,}546\approx0{,}0722\\ \mathrm{m^3/kg},\quad v_{4}=v_{1}=0{,}7755\\ \mathrm{m^3/kg},
e de P_{4}v_{4}=R\,T_{4} segue
P_{4}=\frac{R\,T_{4}}{v_{4}} =\frac{0{,}287\cdot548{,}3}{0{,}7755}\approx202{,}7\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Cálculo dos trabalhos (sinal positivo quando realizado pelo gás):
1\to 2 (adiabático):
W_{12}=\int_{v_{1}}^{v_{2}}P\,dv =\frac{P_{2}v_{2}-P_{1}v_{1}}{1-\gamma} \approx-445\\ \mathrm{kJ/kg}.
2\to 3 (pressão constante):
W_{23}=P_{2}(v_{3}-v_{2}) =5622\,(0{,}0722-0{,}0467)\approx143\\ \mathrm{kJ/kg}.
3\to 4 (adiabático):
W_{34}=\frac{P_{3}v_{3}-P_{4}v_{4}}{1-\gamma} \approx+622\\ \mathrm{kJ/kg}.
4\to 1 (volume constante):
W_{41}=0.
Trabalho líquido
W_{\mathrm{net}}=W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}\approx320\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Rendimento térmico
\eta=1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}} \quad\text{com}\quad Q_{\mathrm{in}}=c_{p}(T_{3}-T_{2}) \approx1{,}005\,(1417-917)=503\\ \mathrm{kJ/kg},
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\eta\approx1-\frac{180}{503}\approx0{,}643\quad(64{,}3\%).

Passo 8

Esboço dos diagramas:
  • P\times v: 1\to 2 curva adiabática ascendente, 2\to 3 linha horizontal, 3\to 4 curva adiabática descendente, 4\to 1 linha vertical.
  • T\times s: 1\to 2 subida quase vertical (adiabático), 2\to 3 subida em curva de pressão constante, 3\to 4 descida adiabática vertical, 4\to 1 descida em curva de volume constante.

Resposta

a) Estados em \mathrm{kPa},\\ \mathrm{m^3/kg},\\ \mathrm{K}:
\displaystyle (1)\;P_{1}=110{,}325,\\ v_{1}=0{,}7755,\\ T_{1}=298;\\\ (2)\;P_{2}=5622,\\ v_{2}=0{,}0467,\\ T_{2}=917;\\\ (3)\;P_{3}=5622,\\ v_{3}=0{,}0722,\\ T_{3}=1417;\\\ (4)\;P_{4}=202{,}7,\\ v_{4}=0{,}7755,\\ T_{4}=548{,}3.
b) \displaystyle r=16{,}6.
c) \displaystyle W_{12}=-445,\\ W_{23}=+143,\\ W_{34}=+622,\\ W_{41}=0,\\ W_{\mathrm{net}}=320\\ \mathrm{kJ/kg}.
d) \displaystyle \eta\approx64{,}3\%.
e) Diagramas descritos em Passo 8.

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