Nitrogênio entra a uma vazão de 1,5 \mathrm{l} / \mathrm{s} em um resfriador (trocador de calor). A pressão na entrada do nitrogênio é 200 kPa e a temperatura é de 160 K . Após o resfriamento o fluido sai do trocador de calor com um volume específico de 0,02 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg}. (a) Determine a temperatura de saída do fluido (b)Determine a taxa de transferência de calor entre o ambiente e o fluido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta isto:
  • Vazão volumétrica de entrada do nitrogênio: \dot{V}=1{,}5\\ \mathrm{L/s}.
  • Pressão na entrada (assumida igual à do trocador): p_1=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura de entrada: T_1=160\\ \mathrm{K}.
  • Após o resfriamento o fluido sai com volume específico: v_2=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg}.
Perguntas pedidas:
(a) Determinar a temperatura de saída T_2.
(b) Determinar a taxa de transferência de calor entre o ambiente e o fluido \dot{Q} (potência térmica).
Observação: não foi dada variação de pressão nem informações sobre trabalho de fluxo, portanto adotaremos a hipótese usual em exercícios deste tipo de que o processo ocorre essencialmente à mesma pressão (pressão constante p=200\\ \mathrm{kPa}) e que perdas de energia cinética/potencial são desprezíveis. Se essa hipótese for inválida, o problema precisa de dados adicionais.

Passo 2

Converter unidades e definir constantes relevantes (e explicar o porquê):
  • Converter a vazão volumétrica para \mathrm{m^3/s}: \dot{V}=1{,}5\\ \mathrm{L/s}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Usaremos a equação dos gases ideais como aproximação para relacionar pressão, volume específico e temperatura:
p v = R T,
onde p é a pressão (em Pa), v é o volume específico (em \mathrm{m^3/kg}), T é a temperatura (em K) e R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Explicação curta do que é R: R é a constante universal dividida pela massa molar; para o nitrogênio ( \mathrm{N_2}) a constante específica é aproximadamente
R = 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Esse valor vem de R_u/M, com R_u\approx 8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)} e massa molar M\approx 28{,}0134\\ \mathrm{kg/kmol}. Usamos o gás ideal por ser o método mais simples e comumente pedido em provas — depois vou comentar sobre validade.

Passo 3

Calcular o volume específico na entrada v_1 e a vazão mássica \dot{m} (isto é importante para depois achar a energia). Explico a lógica: a vazão mássica é a vazão volumétrica dividida pelo volume específico no ponto onde a vazão volumétrica foi medida:
\dot{m}=\frac{\dot{V}}{v_1}.
Primeiro v_1 pela equação dos gases ideais em p_1,T_1:
v_1=\frac{R T_1}{p_1}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: p_1=200\\ \mathrm{kPa}=200000\\ \mathrm{Pa}):
v_1=\frac{296{,}8\cdot 160}{200000}=\frac{47488}{200000}=0{,}23744\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora a vazão mássica:
\dot{m}=\frac{1{,}5\times10^{-3}}{0{,}23744}\approx 0{,}00632\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: cerca de 6{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} de nitrogênio por segundo estão entrando no trocador.

Passo 4

Determinar a temperatura de saída T_2 usando novamente a equação dos gases ideais assumindo pressão praticamente igual a p_1 na saída (hipótese de processo isobárico em relação à pressão do trocador):
T_2=\frac{p\,v_2}{R}.
Substituindo p=200000\\ \mathrm{Pa}, v_2=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg} e R=296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
T_2=\frac{200000\cdot 0{,}02}{296{,}8}=\frac{4000}{296{,}8}\approx 13{,}48\\ \mathrm{K}.
Comentário didático: a equação dos gases ideais conecta linearmente p, v e T. Aqui, dada v_2 muito pequena, a equação prevê uma temperatura muito baixa. Contudo, esse resultado será discutido quanto à validade (ver Passo 7).

Passo 5

Explicar como calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q} (energia por unidade de tempo). Para um escoamento estacionário através de um trocador, desprezando trabalho de fluxo além da entalpia e desprezando variação de energia cinética e potencial, o balanço de energia (primeira lei para regime estacionário) reduz-se a:
\dot{Q} = \dot{m}\,(h_2-h_1),
onde h é a entalpia específica. Para um gás ideal (ou para aproximações usuais), a variação de entalpia a pressão constante pode ser aproximada por
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1),
onde c_p é a capacidade térmica molar específica a pressão constante (por unidade de massa).
Explicação sobre c_p do nitrogênio: o nitrogênio é diatômico. Em temperaturas relativamente baixas (onde modos vibracionais estão congelados) a teoria dos gases diz que o valor aproximado de c_p tende a \tfrac{5}{2}R (por unidade de massa), isto é,
c_p \approx \frac{5}{2}R.
Isto porque c_v\approx \tfrac{3}{2}R e c_p=c_v+R. Numericamente:
c_p \approx 2{,}5\cdot 296{,}8 \approx 742\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Observação didática: a aproximação c_p=2{,}5R vale bem a baixas temperaturas para diatômicos; a 160 K isso é razoável. Para temperaturas muito altas há contribuição vibracional e c_p aumenta.)

Passo 6

Calcular \dot{Q} numericamente com os valores obtidos: \dot{m}\approx 0{,}00632\\ \mathrm{kg/s}, c_p\approx 742\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_1=160\\ \mathrm{K}, T_2\approx 13{,}48\\ \mathrm{K}.
\dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_2-T_1).
Substituindo:
\dot{Q}\approx 0{,}00632\cdot 742\cdot(13{,}48-160).
Calcule a diferença de temperatura:
T_2-T_1\approx -146{,}52\\ \mathrm{K}.
Então
\dot{Q}\approx 0{,}00632\cdot 742\cdot(-146{,}52)\approx -6{,}87\times 10^{2}\\ \mathrm{W}.
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que a energia térmica é retirada do fluido (ou seja, o fluido perde calor para o ambiente/trocador). Em módulo, a potência retirada é cerca de 687\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Discussão sobre validade e observações finais (muito importante para a prova):
  • O uso da equação dos gases ideais e de c_p\approx 2{,}5R é uma aproximação. O resultado T_2\approx 13{,}48\\ \mathrm{K} é extremamente baixo e fisicamente suspeito para nitrogênio nas condições dadas: o ponto de ebulição do nitrogênio à pressão de 1\\ \mathrm{atm} ( 101{,}3\\ \mathrm{kPa}) é cerca de 77\\ \mathrm{K}. Atingir 13{,}5\\ \mathrm{K} significaria condição muito além do comportamento gasoso ideal; propriedades reais (compressibilidade, transição de fase, eventualmente líquido/sólido ou estado supercrítico) tornam a aproximação inválida.
  • Conclusão prática: os cálculos mostrados são o procedimento correto sob a hipótese de gás ideal; porém, o resultado indica que essa hipótese falha aqui. Para obter uma resposta física correta seria necessário usar propriedades reais do nitrogênio (tabelas termodinâmicas, software de propriedades reais ou fator de compressibilidade Z dependente de p,T) e verificar se o estado pedido ( v_2=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg} a p=200\\ \mathrm{kPa}) é alcançável como gás, líquido ou supercrítico.
  • Em termos de prova: mostre todos os passos (conversão de unidades, uso de p v = R T, cálculo de \dot{m}, energia \dot{Q}=\dot{m}c_p\Delta T) e comente sobre a validade da aproximação — isso demonstra entendimento.

Resposta

(a) T_2=13{,}48\\ \mathrm{K}
(b) \dot{Q}=-6{,}87\times10^{2}\\ \mathrm{W}

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