Água entra em uma bomba a 0,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} em estado de líquido saturado a 20 kPa . A mesma deixa a bomba a 800 kPa . Determine a potência da bomba se a água apresenta um aumento de 0,27^{\circ} \mathrm{C} em sua temperatura quando passa pela bomba. Despreze a perda de calor.

Passo 1

O enunciado pede a potência da bomba, dado que água entra na bomba com vazão mássica \dot{m}=0,7\\ \mathrm{kg/s} em estado de líquido saturado a 20\\ \mathrm{kPa}, sai a 800\\ \mathrm{kPa} e apresenta um aumento de temperatura de \Delta T = 0,27^\circ\mathrm{C} ao passar pela bomba. Foi dito para desprezar perda de calor (adiabático).
Informações relevantes fornecidas:
\dot{m}=0,7\\ \mathrm{kg/s},\qquad P_1=20\\ \mathrm{kPa},\qquad P_2=800\\ \mathrm{kPa},\qquad \Delta T=0,27^\circ\mathrm{C}.
Pergunta do enunciado: determine a potência (potência de eixo) da bomba.

Passo 2

Vamos usar a equação de energia para um escoamento estacionário, desprezando variações de energia cinética e potencial e com troca de calor nula (adiabático). A forma relevante é:
\dot{W}_\text{shaft}=\dot{m}\,(h_2-h_1),
onde \dot{W}_\text{shaft} é a potência fornecida pela bomba (positiva quando trabalho é fornecido ao fluido), \dot{m} é a vazão mássica e h_1,h_2 são as entalpias específicas nas seções de entrada e saída. Aqui precisamos calcular \Delta h=h_2-h_1.
Explicando as variáveis:
  • \dot{W}_\text{shaft}: potência (J/s = W) fornecida pela bomba.
  • \dot{m}: vazão mássica (kg/s).
  • h: entalpia específica do fluido (J/kg ou kJ/kg).
Então o objetivo reduz-se a achar \Delta h e multiplicar por \dot{m}.

Passo 3

Para líquido praticamente incompressível podemos aproximar a variação de entalpia por duas contribuições: a variação associada ao aumento de pressão e a associada ao aumento de temperatura. Uma relação aproximada conveniente é
\mathrm{d}h \approx v\,\mathrm{d}P + c_p\,\mathrm{d}T,
onde v é o volume específico (m³/kg) e c_p é o calor específico a pressão constante (kJ/(kg·K) ou J/(kg·K)). Esta fórmula vem da identidade termodinâmica geral e é adequada para líquidos, pois a dependência de pressão é dada principalmente pelo termo v\,\mathrm{d}P. Portanto, para variações finitas:
\Delta h \approx v\,\Delta P + c_p\,\Delta T,
com \Delta P = P_2-P_1 e \Delta T dada.
Explicando:
  • v\,\Delta P tem unidades \mathrm{m^3/kg}\cdot\mathrm{Pa}=\mathrm{J/kg} e representa trabalho de compressão do líquido (importante em bombas).
  • c_p\,\Delta T é a variação de entalpia devido ao aquecimento do líquido.

Passo 4

Agora precisamos de valores numéricos para v (volume específico do líquido saturado a 20\\ \mathrm{kPa}) e para c_p da água líquida perto dessa temperatura. Usamos valores típicos/da tabela de vapor:
Valor do volume específico do líquido saturado a 20\\ \mathrm{kPa} (tabela de vapor):
v \approx 0,001016\\ \mathrm{m^3/kg}.
Valor aproximado do calor específico da água líquida nessa faixa de temperatura:
c_p \approx 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Obs.: \Delta T=0,27^\circ\mathrm{C} equivale a 0,27\\ \mathrm{K} (diferença de temperatura é a mesma em K e °C).

Passo 5

Calculemos \Delta P:
\Delta P = P_2-P_1 = 800\\ \mathrm{kPa}-20\\ \mathrm{kPa}=780\\ \mathrm{kPa}=780000\\ \mathrm{Pa}.
Calculemos o termo v\,\Delta P (em J/kg, depois convertemos para kJ/kg):
v\,\Delta P = 0,001016\\ \mathrm{m^3/kg}\times 780000\\ \mathrm{Pa}=792,48\\ \mathrm{J/kg}=0,79248\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calculemos o termo c_p\,\Delta T:
c_p\,\Delta T = 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times 0,27\\ \mathrm{K}=1,1286\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando as duas contribuições para obter \Delta h:
\Delta h \approx 0,79248\\ \mathrm{kJ/kg}+1,1286\\ \mathrm{kJ/kg}=1,92108\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Agora a potência da bomba é
\dot{W}_\text{shaft}=\dot{m}\,\Delta h.
Substituindo numérico (lembre que 1\\ \mathrm{kJ/s}=1\\ \mathrm{kW}):
\dot{W}_\text{shaft}=0,7\\ \mathrm{kg/s}\times 1,92108\\ \mathrm{kJ/kg}=1,344756\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma prática:
\dot{W}_\text{shaft}\approx 1,345\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: a bomba precisa fornecer aproximadamente 1{,}345\\ \mathrm{kW} de potência ao fluido (isto é, cerca de 1345\\ \mathrm{W}). Este valor inclui tanto o trabalho associado ao aumento de pressão quanto o aquecimento observado na água.

Resposta

\dot{W}_\text{shaft}\approx 1{,}345\\ \mathrm{kW}

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