Nitrogênio escoa em regime permanente em um tubo horizontal, termicamente isolado, de 6,0 cm de diâmetro. Uma perda de carga, isto é, diminuição de pressão, ocorre devido ao escoamento através de uma válvula parcialmente aberta. Na entrada da válvula a pressão é de 20 bar, a temperatura é 285 K e a velocidade média na entrada é de 5,0 m / s e na saída é de 100 m / s. Se a pressão logo após a válvula for de 100 kPa , qual será a temperatura? Assuma que o nitrogênio é um gás ideal (P cdot V=R cdot T, Cv=(5 / 2) cdot R, e Cp=(7 / 2) cdot R), sua massa molar é 28 g / mol.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos nitrogênio escoando de forma constante (regime permanente) em um tubo horizontal que está isolado termicamente. A gente sabe a pressão, a temperatura e a velocidade do gás na entrada e na saída de uma válvula que está parcialmente aberta. A pressão na entrada da válvula é de 20 bar, a temperatura é 285 K, a velocidade na entrada é 5,0 m/s e na saída é 100 m/s. Após a válvula, a pressão cai para 100 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a temperatura do nitrogênio depois que ele passa pela válvula. Para resolver isso, vamos precisar usar a 1ª Lei da Termodinâmica para sistemas abertos (também conhecida como Equação de Energia para Fluxo de Massa) e algumas propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a 1ª Lei da Termodinâmica para sistemas abertos. Ela basicamente nos diz que a variação de energia interna mais a variação de energia cinética do fluido é igual à energia fornecida ou absorvida pelo sistema. Como o tubo está isolado termicamente, não há troca de calor (Q = 0) e não há trabalho realizado (W = 0). Então, a equação fica:
h1 + V1^22 = h2 + V2^22
Aqui, $ h $ é a entalpia específica e $ V $ é a velocidade do gás.

Passo 3

Vamos lembrar que para um gás ideal, a entalpia específica $ h $ depende apenas da temperatura e é dada por:
h
onde $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante. Para o nitrogênio, $ C_p = \frac{7}{2} R $.

Passo 4

Substituindo $ h_1 $ e $ h_2 $ na equação da 1ª Lei, temos:
h1
Nossa incógnita aqui é $ T_2 $, a temperatura após a válvula.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar $ T_2 $:
T2
Dividindo ambos os lados por $ C_p $:
Cp cdot T2 = Cp cdot T1 + V1^22 - V2^22

Passo 6

Precisamos calcular $ C_p $. Sabemos que $ R = \frac{0,0821}{28} $ J/(mol·K) (já que a massa molar do nitrogênio é 28 g/mol). Mas na verdade, podemos simplificar usando as relações dadas:
Cp
Como estamos trabalhando com unidades consistentes, podemos deixar $ R $ em termos de $ J/(kg·K) $ se necessário, mas para simplificar, vamos manter $ R $ como constante na equação.

Passo 7

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ T_1 = 285 $ K
  • $ V_1 = 5,0 $ m/s
  • $ V_2 = 100 $ m/s
  • $ C_p = \frac{7}{2} R $
Então:
T1 = 285

Passo 8

Calculando o numerador:
5^2 - 100^2 = 25 - 10000 = -9975
Então:
T2 = 285 + -99757 R

Passo 9

Agora, precisamos saber o valor de $ R $ para o nitrogênio. A constante dos gases ideais $ R $ é:
R

Passo 10

Substituindo $ R $ na equação:
R
Calculando o denominador:
T2 = 285 + -99757 cdot 297
Então:
7 cdot 297 = 2079
T2 = 285 + -99752079
T2 = 285 - 4,8

Resposta

A temperatura do nitrogênio após passar pela válvula será aproximadamente 280,2 K.

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