(Nível Hormonal ) Considere que o nível de um certo hormônio no sangue de um paciente varie com o tempo. Suponha que a taxa temporal dessa variação seja a diferença entre a entrada senoidal (com um período de 24h) da glândula tireóide e uma taxa contínua de remoção, proporcional ao nível presente de hormônio. O modelo para o nível de hormônio no sangue é o seguinte: consideremos que seja o nível de hormônio num instante . Dessa forma a taxa de remoção é igual a . Por sua vez, a taxa de entrada corresponde a , onde é a taxa média de entrada, e , para fazer com que a entrada seja não negativa. (As constantes e podem ser determinadas através de medidas laboratoriais.) Dessa forma, o modelo é
Passo 1
O enunciado diz que o nível de hormônio satisfaz a EDO de primeira ordem
Aqui o conteúdo é “EDO linear de primeira ordem” e o que precisamos é:
saber que toda solução geral é soma da solução homogênea (sem a força externa) mais uma solução particular (que “acomoda” o termo ).
Derivar salários de e , agrupar termos e resolver um sisteminha para os coeficientes da parte particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea (quando o lado direito fosse zero):
Essa é a parte que “decai” exponencialmente.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular . Como o RHS é “constante + cosseno”, a gente chuta:
Isso se chama “método dos coeficientes a determinar”.
Passo 4
Derivando :
Substituindo em :
Agrupando termos:
Termo constante: E,omega^2K + K,E = B Longrightarrow E,K^2+omega^2K = B ;Longrightarrow; E = B,KK^2+omega^2, .
Coeficiente de F = E,omegaK = B,omegaK^2+omega^2 : .
Coeficiente de : .
Da primeira equação vem
Das duas outras formamos um sistema
Substituindo no primeiro:
Passo 5
Então a solução particular é
yp(t) = AK ;+;B,KK^2+omega^2cos(omega t) ;+;B,omegaK^2+omega^2sin(omega t)
Soma geral = homogênea + particular:
Resposta
boxed y(t) = AK ;+; B,KK^2+l(tfracpi12r)^2,cos!l(tfracpi12tr) ;+; B,tfracpi12,K^2+l(tfracpi12r)^2,,sin!l(tfracpi12tr) ;+; C,e^-K t
onde é fixada pela condição inicial que você tiver.