(Nível Hormonal ) Considere que o nível de um certo hormônio no sangue de um paciente varie com o tempo. Suponha que a taxa temporal dessa variação seja a diferença entre a entrada senoidal (com um período de 24h) da glândula tireóide e uma taxa contínua de remoção, proporcional ao nível presente de hormônio. O modelo para o nível de hormônio no sangue é o seguinte: consideremos que y(t) seja o nível de hormônio num instante t. Dessa forma a taxa de remoção é igual a K y(t). Por sua vez, a taxa de entrada corresponde a A+B cos (2 pi t / 24), onde A é a taxa média de entrada, e A >= B, para fazer com que a entrada seja não negativa. (As constantes A, B e K podem ser determinadas através de medidas laboratoriais.) Dessa forma, o modelo é
y^prime(t)=A+B cos (112 pi t)-K y(t) ou y^prime+K y=A+B cos (112 pi t)

Passo 1

O enunciado diz que o nível de hormônio y'(t) + K,y(t) ;=; A + Bcos!l(tfracpi12tr) satisfaz a EDO de primeira ordem
Aqui o conteúdo é “EDO linear de primeira ordem” e o que precisamos é:
  1. saber que toda solução geral é soma da solução homogênea (sem a força externa) mais uma solução particular (que “acomoda” o termo ).
  2. Derivar salários de e , agrupar termos e resolver um sisteminha para os coeficientes da parte particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea (quando o lado direito fosse zero):
y'(t) + K,y(t) = 0 Longrightarrow yh(t) = C,e^-K t
Essa é a parte que “decai” exponencialmente.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) = D ;+; Ecos(omega t);+;Fsin(omega t), onde;omega=pi12 . Como o RHS é “constante + cosseno”, a gente chuta:
Isso se chama “método dos coeficientes a determinar”.

Passo 4

  1. Derivando yp'(t) = -E,omegasin(omega t) + F,omegacos(omega t) :
underbrace(-Eomegasin+;Fomegacos)yp' ;+; K,(D + Ecos+;Fsin) ;=; A + Bcos(omega t)
  1. Substituindo em D = AK :
F,omega + K,E = B, -K,F + E,omega = 0 Longrightarrow F = E,omegaK
  1. Agrupando termos:
    • Termo constante: E,omega^2K + K,E = B Longrightarrow E,K^2+omega^2K = B ;Longrightarrow; E = B,KK^2+omega^2, .
    • Coeficiente de F = E,omegaK = B,omegaK^2+omega^2 : .
    • Coeficiente de : .
  2. Da primeira equação vem
Das duas outras formamos um sistema
Substituindo no primeiro:

Passo 5

Então a solução particular é
yp(t) = AK ;+;B,KK^2+omega^2cos(omega t) ;+;B,omegaK^2+omega^2sin(omega t)
Soma geral = homogênea + particular:

Resposta

boxed y(t) = AK ;+; B,KK^2+l(tfracpi12r)^2,cos!l(tfracpi12tr) ;+; B,tfracpi12,K^2+l(tfracpi12r)^2,,sin!l(tfracpi12tr) ;+; C,e^-K t
onde é fixada pela condição inicial que você tiver.

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