Qual o número de coordenação e fator de empacotamento para as seguintes estruturas: CCC; CFC; HC. Demonstre.
CCC (
); CFC (
); HC (
).
CCC (
Passo 1
O enunciado pede, para cada estrutura cristalina dada (CCC, CFC, HC), dois valores: o número de coordenação (NC) e o fator de empacotamento atômico (FEA). Informações relevantes fornecidas implicitamente/necessárias:
- Queremos o número de vizinhos mais próximos (NC) de um átomo na rede.
- O FEA é definido como a fração do volume da cela unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas que se tocam onde apropriado).
- Para calcular o FEA precisamos de: (1) número de átomos por cela unitária
; (2) volume de um átomo , onde é o raio atômico; (3) volume da cela unitária expresso em termos de usando a geometria da rede. - As três estruturas a analisar são: CCC (cúbica de corpo centrado), CFC (cúbica de faces centradas) e HC (hexagonal compacta).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma direta e prática):
- Número de coordenação (NC): conta quantos átomos estão à menor distância (mais próximos) de um átomo dado. Para decidir quantos são, basta olhar a posição relativa dos vizinhos imediatos na cela e em células adjacentes.
- Fator de empacotamento atômico (FEA): razão entre o volume total ocupado por todos os átomos contidos na cela unitária e o volume da própria cela. Fórmula:
Vou calcular
e
para cada estrutura relacionando o parâmetro de rede
com o raio atômico
, usando a condição geométrica de contato entre esferas na estrutura.
Passo 3
Descrevendo a cela CCC: átomos nos 8 vértices (cada um compartilhado por 8 células) e 1 átomo no centro da cela (inteiro). Visualmente o átomo do centro toca os 8 átomos dos vértices (cada vértice está em uma das oito direções diagonais rumo ao centro). Portanto:
Passo 4
Contagem de átomos na cela:
- 8 cantos
contribuição cada = . - 1 átomo no centro =
.
Logoátomos por cela.
Geometria: a menor distância que liga centros de esferas em contato corresponde à diagonal do corpo da cela. A diagonal do corpo tem comprimentoe atravessa 2 raios do canto ao centro e mais 2 raios do centro ao canto oposto totalizando . Assim:
Passo 5
Usando a fórmula do FEA:
Simplificando:
Valor numérico aproximado:
Passo 6
Na CFC cada átomo está em contato com 12 vizinhos mais próximos. Uma maneira intuitiva de ver isso: um átomo na rede tem 4 vizinhos na mesma camada, 4 na camada acima e 4 na camada abaixo, totalizando 12. Portanto:
Passo 7
Contagem de átomos por cela na CFC:
- 8 cantos
= . - 6 faces
= .
Totalátomos por cela.
Geometria: na CFC as esferas se tocam ao longo das diagonais das faces; a diagonal de uma face tem comprimentoe corresponde a 4 raios (duas esferas de raio tocando no centro da face), então:
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Calcule o denominador:
. Assim
Valor numérico:
Passo 9
A estrutura hexagonal compacta (HC, também chamada HCP) é uma das empacotamentos mais densos: cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos (4 no mesmo plano hexagonal, 6 no plano adjacente de cima/baixo distribuídos apropriadamente, etc.). Logo:
Passo 10
Fato conhecido (padrão para HCP convencional): a cela hexagonal convencional contém
átomos por cela (esse resultado pode ser obtido contando as contribuições dos átomos dos vértices, faces e posições internas da cela).
Para o empacotamento ideal (esferas em contato), as relações geométricas são:
Para o empacotamento ideal (esferas em contato), as relações geométricas são:
e a razão altura/aresta é
O volume da cela hexagonal é a área da base (hexágono regular) multiplicada pela altura
. A área do hexágono de lado
é
. Assim:
Passo 11
Substituindo
em
:
Simplificando a constante:
Logo
Agora usando
e
:
Valor numérico:
Resposta
CCC:
CFC:
HC:
CFC:
HC: