Qual o número de coordenação e fator de empacotamento para as seguintes estruturas: CCC; CFC; HC. Demonstre.
CCC ( \mathrm{NC}=8, \mathrm{FEA}=0,68 ); CFC ( \mathrm{NC}=12, \mathrm{FEA}=0,74 ); HC ( \mathrm{NC}=12, \mathrm{FEA}=0,74 ).

Passo 1

O enunciado pede, para cada estrutura cristalina dada (CCC, CFC, HC), dois valores: o número de coordenação (NC) e o fator de empacotamento atômico (FEA). Informações relevantes fornecidas implicitamente/necessárias:
  • Queremos o número de vizinhos mais próximos (NC) de um átomo na rede.
  • O FEA é definido como a fração do volume da cela unitária ocupada pelos átomos (modelados como esferas rígidas que se tocam onde apropriado).
  • Para calcular o FEA precisamos de: (1) número de átomos por cela unitária N; (2) volume de um átomo V_{\text{átomo}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}á, onde r é o raio atômico; (3) volume da cela unitária V_{\text{cela}} expresso em termos de r usando a geometria da rede.
  • As três estruturas a analisar são: CCC (cúbica de corpo centrado), CFC (cúbica de faces centradas) e HC (hexagonal compacta).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma direta e prática):
  • Número de coordenação (NC): conta quantos átomos estão à menor distância (mais próximos) de um átomo dado. Para decidir quantos são, basta olhar a posição relativa dos vizinhos imediatos na cela e em células adjacentes.
  • Fator de empacotamento atômico (FEA): razão entre o volume total ocupado por todos os átomos contidos na cela unitária e o volume da própria cela. Fórmula:
\text{FEA}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{V_{\text{cela}}}.
Vou calcular N e V_{\text{cela}} para cada estrutura relacionando o parâmetro de rede a com o raio atômico r, usando a condição geométrica de contato entre esferas na estrutura.

Passo 3

Descrevendo a cela CCC: átomos nos 8 vértices (cada um compartilhado por 8 células) e 1 átomo no centro da cela (inteiro). Visualmente o átomo do centro toca os 8 átomos dos vértices (cada vértice está em uma das oito direções diagonais rumo ao centro). Portanto:
\text{NC}_{\text{CCC}}=8.

Passo 4

Contagem de átomos na cela:
  • 8 cantos \times contribuição 1/8 cada = 1.
  • 1 átomo no centro = 1.
    Logo N=2 átomos por cela.
    Geometria: a menor distância que liga centros de esferas em contato corresponde à diagonal do corpo da cela. A diagonal do corpo tem comprimento \sqrt{3}\,a e atravessa 2 raios do canto ao centro e mais 2 raios do centro ao canto oposto totalizando 4r. Assim:
\sqrt{3}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Usando a fórmula do FEA:
\text{FEA}_{\text{CCC}}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{2\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}}.
Simplificando:
\text{FEA}_{\text{CCC}}=\frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}r^{3}} =\pi\cdot\frac{8}{64}\sqrt{3} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
Valor numérico aproximado:
\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,68017\approx 0,68.

Passo 6

Na CFC cada átomo está em contato com 12 vizinhos mais próximos. Uma maneira intuitiva de ver isso: um átomo na rede tem 4 vizinhos na mesma camada, 4 na camada acima e 4 na camada abaixo, totalizando 12. Portanto:
\text{NC}_{\text{CFC}}=12.

Passo 7

Contagem de átomos por cela na CFC:
  • 8 cantos \times 1/8 = 1.
  • 6 faces \times 1/2 = 3.
    Total N=4 átomos por cela.
    Geometria: na CFC as esferas se tocam ao longo das diagonais das faces; a diagonal de uma face tem comprimento \sqrt{2}\,a e corresponde a 4 raios (duas esferas de raio r tocando no centro da face), então:
\sqrt{2}\,a=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
\text{FEA}_{\text{CFC}}=\frac{4\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}} =\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{\left(2\sqrt{2}\,r\right)^{3}}.
Calcule o denominador: \left(2\sqrt{2}\right)^{3}=16\sqrt{2}. Assim
\text{FEA}_{\text{CFC}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Valor numérico:
\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048\approx 0,74.

Passo 9

A estrutura hexagonal compacta (HC, também chamada HCP) é uma das empacotamentos mais densos: cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos (4 no mesmo plano hexagonal, 6 no plano adjacente de cima/baixo distribuídos apropriadamente, etc.). Logo:
\text{NC}_{\text{HC}}=12.

Passo 10

Fato conhecido (padrão para HCP convencional): a cela hexagonal convencional contém N=6 átomos por cela (esse resultado pode ser obtido contando as contribuições dos átomos dos vértices, faces e posições internas da cela).
Para o empacotamento ideal (esferas em contato), as relações geométricas são:
a=2r,
e a razão altura/aresta é
\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}.
O volume da cela hexagonal é a área da base (hexágono regular) multiplicada pela altura c. A área do hexágono de lado a é \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}. Assim:
V_{\text{cela}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}c.

Passo 11

Substituindo c=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\,a em V_{\text{cela}}:
V_{\text{cela}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\left(\sqrt{\frac{8}{3}}\,a\right) =\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{8}{3}}\,a^{3}.
Simplificando a constante:
\frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{3}{2}\sqrt{3}\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{3}{2}\sqrt{8}= \frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}.
Logo
V_{\text{cela}}=3\sqrt{2}\,a^{3}.
Agora usando a=2r e N=6:
\text{FEA}_{\text{HC}}=\frac{6\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{3\sqrt{2}\,a^{3}} =\frac{8\pi r^{3}}{3\sqrt{2}\,(2r)^{3}} =\frac{8\pi r^{3}}{3\sqrt{2}\cdot 8 r^{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Valor numérico:
\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048\approx 0,74.

Resposta

CCC: \mathrm{NC}=8,\; \mathrm{FEA}=0,68
CFC: \mathrm{NC}=12,\; \mathrm{FEA}=0,74
HC: \mathrm{NC}=12,\; \mathrm{FEA}=0,74

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