2 Ar seco e quente a 40^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa de 10 \% atravessa um resfriador evaporativo. É adicionada água à medida que o ar atravessa uma série de pavios e a mistura sai a 27^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) a umidade relativa de saída, (b) a quantidade de água adicionada e (c) a menor temperatura que poderia ser produzida. R: [b. 5,4 .10-3 kg água/kg ar seco, \mathrm{T}=18,5^{\circ} \mathrm{C} ]

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que sabemos):
  • Ar seco e quente entra no resfriador evaporativo com temperatura seca \mathrm{T}_1 = 40^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa da corrente de entrada \mathrm{RH}_1 = 10\%.
  • A mistura sai do resfriador com temperatura seca \mathrm{T}_2 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • É adicionada água no processo (evaporação parcial dela entra no ar).
  • Pressão atmosférica não foi dada no enunciado; vou assumir pressão padrão p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (1 atm). Se seu exame usa outro valor, o procedimento é o mesmo.
  • O que pedimos:
    (a) a umidade relativa de saída \mathrm{RH}_2;
    (b) a massa de água adicionada por kg de ar seco (ou seja, \Delta w = w_2 - w_1, em \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á);
    (c) a menor temperatura que poderia ser produzida (temperatura limite do resfriador evaporativo, isto é, a temperatura de saturação adiabática / temperatura de bulbo úmido da condição inicial).
  • Observação: neste tipo de resfriador típico consideramos o processo adiabático (nenhum calor trocado com o ambiente externo além da evaporação da água), então a entalpia do ar úmido por kg de ar seco permanece aproximadamente constante enquanto a temperatura cai e a umidade absoluta aumenta.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicação didática):
  1. Relação entre razão de mistura (ou razão hídrica) w e pressão parcial de vapor p_v:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{p-p_v},
onde w é massa de vapor por massa de ar seco ( \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}), p_v é pressão parcial do vapor em \mathrm{kPa} e p é pressão total (aqui assumida 101{,}325\\ \mathrm{kPa}). Essa fórmula vem da definição de razão de mistura baseada nas pressões parciais (Lei dos gases ideais para os componentes).
  1. Pressão de saturação do vapor d’água p_{ws}(T) — usamos a equação de Tetens (fácil e precisa para temperaturas usuais):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\bigg(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\bigg)\quad[\mathrm{kPa}],
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Então a pressão parcial real do vapor é p_v=\mathrm{RH}\cdot p_{ws}(T) (com \mathrm{RH} em fração, por ex. 0{,}10 para 10\%).
  1. Equação de entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática usada em psicrometria):
h = 1{,}006\,T + w\,(2501 + 1{,}86\,T)\quad[\mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}],
onde T em ^\circ\mathrm{C}, 1{,}006 é a capacidade térmica aproximada do ar seco em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, 2501 é o calor latente aproximado de vaporização em \mathrm{kJ/kg} (a 0^\circ\mathrm{C} referência) e 1{,}86 é a capacidade térmica aproximada da água líquida por kg de água quando referida por kg de ar seco (forma padronizada da equação). Essa equação significa: entalpia do ar seco mais entalpia transportada pelo vapor.
  1. No processo adiabático de um resfriador evaporativo: entalpia por kg de ar seco se conserva, isto é h_1 = h_2. Usamos essa igualdade para encontrar a nova razão de mistura w_2 quando conhecemos temperaturas.
Resumo do método:
  • Calcular p_{ws} na entrada para obter w_1 a partir de \mathrm{RH}_1.
  • Calcular entalpia h_1.
  • Igualar h_1 a h_2 com T_2 conhecido e incógnita w_2 — resolver para w_2.
  • Com w_2 obter pressão parcial p_{v2} e então \mathrm{RH}_2 = p_{v2}/p_{ws}(T_2).
  • A água adicionada por kg de ar seco é \Delta w = w_2 - w_1.
  • A menor temperatura possível é a temperatura de adiabatic saturation/wet-bulb associada à condição inicial; obtém-se resolvendo h_1 = h_{\mathrm{sat}}(T_{min}) onde h_{\mathrm{sat}}(T)=1{,}006\,T + w_s(T)\,(2501+1{,}86\,T) e w_s(T) é a razão de mistura saturada em T.

Passo 3

Calcular pressão de saturação e razão de mistura inicial w_1 (detalhando contas):
  1. Saturação à entrada T_1=40^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(40)=0{,}61078\exp\!\bigg(\frac{17{,}27\cdot 40}{40+237{,}3}\bigg).
Calcule o expoente: \dfrac{17{,}27\cdot 40}{277{,}3}\approx 2{,}492. Então
p_{ws}(40)\approx 0{,}61078\exp(2{,}492)\approx 7{,}373\\ \mathrm{kPa}.
  1. Pressão parcial do vapor na entrada:
p_{v1}=\mathrm{RH}_1\cdot p_{ws}(40)=0{,}10\cdot 7{,}373\approx 0{,}7373\\ \mathrm{kPa}.
  1. Razão de mistura inicial w_1 pela fórmula
w_1=\frac{0{,}622\,p_{v1}}{p-p_{v1}}=\frac{0{,}622\cdot 0{,}7373}{101{,}325-0{,}7373}.
Calcule numerador: 0{,}622\cdot 0{,}7373\approx 0{,}4585. Denominador: 100{,}5877.
w_1\approx\frac{0{,}4585}{100{,}5877}\approx 0{,}004559.
Portanto w_1\approx 0{,}00456\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á.

Passo 4

Calcular entalpia específica inicial h_1:
Usando a fórmula de entalpia:
h_1 = 1{,}006\cdot 40 + w_1\,(2501 + 1{,}86\cdot 40).
Calcule termos:
1{,}006\cdot 40 = 40{,}24\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot 40 = 2501 + 74{,}4 = 2575{,}4.
w_1\cdot 2575{,}4 \approx 0{,}004559\cdot 2575{,}4 \approx 11{,}75\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
h_1 \approx 40{,}24 + 11{,}75 = 51{,}99\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Determinar a nova razão de mistura w_2 impondo conservação de entalpia com T_2=27^\circ\mathrm{C}:
Escrevemos h_2 = h_1 com
h_2 = 1{,}006\cdot 27 + w_2\,(2501 + 1{,}86\cdot 27).
Calcule termos fixos:
1{,}006\cdot 27 = 27{,}162\\ \mathrm{kJ/kg},
2501 + 1{,}86\cdot 27 = 2501 + 50{,}22 = 2551{,}22.
Igualando a entalpia:
27{,}162 + w_2\cdot 2551{,}22 = 51{,}99.
Isolando w_2:
w_2 = \frac{51{,}99 - 27{,}162}{2551{,}22} = \frac{24{,}828}{2551{,}22}\approx 0{,}009735.
Portanto w_2\approx 0{,}00974\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á.

Passo 6

Calcular a umidade relativa de saída \mathrm{RH}_2 (detalhando):
  1. A partir de w_2 obtemos a pressão parcial do vapor na saída p_{v2} usando a inversa da fórmula de w:
p_{v2}=\frac{p\,w_2}{0{,}622 + w_2}.
Substituindo p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} e w_2=0{,}009735:
p_{v2}\approx\frac{101{,}325\cdot 0{,}009735}{0{,}622 + 0{,}009735} \approx \frac{0{,}986}{0{,}631735}\approx 1{,}561\\ \mathrm{kPa}.
  1. Saturação a T_2=27^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(27)=0{,}61078\exp\!\bigg(\frac{17{,}27\cdot 27}{27+237{,}3}\bigg).
Calcule rapidamente: expoente \approx 1{,}764, \exp(\cdot)\approx 5{,}835, então
p_{ws}(27)\approx 3{,}564\\ \mathrm{kPa}.
  1. Umidade relativa de saída:
\mathrm{RH}_2=\frac{p_{v2}}{p_{ws}(27)}\approx\frac{1{,}561}{3{,}564}\approx 0{,}438 \equiv 43{,}8\%.

Passo 7

Calcular a massa de água adicionada por kg de ar seco:
\Delta w = w_2 - w_1 \approx 0{,}009735 - 0{,}004559 = 0{,}005176\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}.á
Ou seja, aproximadamente 5{,}18\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á.

Passo 8

Calcular a menor temperatura possível (temperatura de bulbo úmido / adiabatic saturation) — procedimento e iteração:
  • A menor temperatura atingível T_{min} satisfaz que, se o ar fosse saturado àquela temperatura, a entalpia do ar saturado seria igual à entalpia inicial h_1:
h_1 = 1{,}006\,T_{min} + w_s(T_{min})\,(2501 + 1{,}86\,T_{min}),
onde w_s(T) é a razão de mistura saturada em T obtida com p_{ws}(T) pela fórmula w_s=\dfrac{0{,}622\,p_{ws}(T)}{p-p_{ws}(T)}.
  • Resolvi essa igualdade numericamente por interpolação entre tentativas: calculei h_{\mathrm{sat}}(18^\circ\mathrm{C})\approx 50{,}90\\ \mathrm{kJ/kg} e h_{\mathrm{sat}}(18{,}5^\circ\mathrm{C})\approx 52{,}47\\ \mathrm{kJ/kg}. Como h_1\approx 51{,}99, o T_{min} está entre 18{,}0^\circ\mathrm{C} e 18{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Interpolando (detalhes numéricos mostrados nos cálculos), obtive
T_{min}\approx 18{,}3^\circ\mathrm{C}.
(Isto representa a temperatura de bulbo úmido / temperatura adiabática de saturação para o ar inicial de 40^\circ\mathrm{C} e 10\% de RH. O enunciado dá 18{,}5^\circ\mathrm{C} como referência; pequenas diferenças surgem dependendo das constantes numéricas usadas e arredondamentos.)

Resposta

(a) \mathrm{RH}_2 \approx 43{,}8\% \n
(b) \Delta w \approx 5{,}18\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á \n
(c) T_{\min}\approx 18{,}3^\circ\mathrm{C}

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