Observe as equações a seguir válidas para líquidos comprimidos:
u(T, p) \approx v_{\mathrm{f}}(T)
u(T, p) \approx u_{\mathrm{f}}(T)
h(T, p) \approx h_{\mathrm{f}}(T)
Volume específico, energia interna e entalpia de líquidos aproximados por valores para líquido saturado.
Por quê se pode fazer essas aproximações? Qual delas possui a menor precisão e porquê?

Passo 1

O enunciado mostra que, para líquidos comprimidos, as propriedades específicas dependem muito mais da temperatura do que da pressão, permitindo as aproximações
v(T,p)\approx v_{\mathrm f}(T),\quad u(T,p)\approx u_{\mathrm f}(T),\quad h(T,p)\approx h_{\mathrm f}(T).
O conteúdo da matéria é o comportamento de líquidos quase incompressíveis e a razão dessas aproximações. Vamos usar definições termodinâmicas básicas e estimar a variação de cada propriedade com a pressão para comparar as precisões.

Passo 2

Líquidos têm coeficiente de compressibilidade isentrópica muito baixo, isto é,
\kappa_T=-\frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial p}\Bigr)_T\ll1.
Isso significa que, ao aumentar a pressão a temperatura constante, o volume específico varia pouquíssimo. Logo
\Delta v=\int_{p_{\mathrm{sat}}}^{p} \Bigl(\frac{\partial v}{\partial p}\Bigr)_T dp\approx0,
e podemos aproximar v(T,p)\approx v_{\mathrm f}(T).

Passo 3

Para a entalpia, usamos dh=T\,ds+v\,dp. A variação entre uma pressão de saturção p_{\mathrm{sat}}(T) e p é
\Delta h = \int_{p_{\mathrm{sat}}}^{p} v\,dp.
Como v de líquido é pequeno (da ordem de 10^{-3}\,\mathrm{m^3/kg}) e \Delta p em engenharia não ultrapassa alguns 10^7\,\mathrm{Pa}, o produto v\,\Delta p fica em 10^4 a 10^5\,\mathrm{J/kg}, pequeno frente a entalpias típicas de líquidos \sim10^5 a 10^6\,\mathrm{J/kg}. Assim h(T,p)\approx h_{\mathrm f}(T).

Passo 4

Para a energia interna, usamos du=T\,ds - p\,dv. A variação em p a T constante é
\Delta u = -\int_{p_{\mathrm{sat}}}^{p} p\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial p}\Bigr)_T dp =\int_{p_{\mathrm{sat}}}^{p}\bigl[v - T(\partial v/\partial T)_p\bigr]\,dp.
Novamente, como v e o coeficiente de expansão térmica \alpha=(1/v)(\partial v/\partial T)_p são pequenos \alpha\sim10^{-3}\,\mathrm K^{-1}, \Delta u é ainda menor que \Delta h. Logo u(T,p)\approx u_{\mathrm f}(T) com maior precisão.

Passo 5

Comparando as magnitudes:
\Delta v\sim\int(\partial v/\partial p)_Tdp é mínimo.
\Delta u\sim\int[v - T(\partial v/\partial T)_p]dp é pequeno, mas um pouco maior que \Delta v.
\Delta h\sim\int v\,dp é o maior erro relativo, pois não sofre atenuação pelo termo -T(\partial v/\partial T)_p.

Resposta

A aproximação é válida porque líquidos são quase incompressíveis e têm expansão térmica muito baixa, fazendo com que v, u e h variem muito pouco com a pressão. A menor precisão está na aproximação de h(T,p)\approx h_{\mathrm f}(T), pois a variação de entalpia com a pressão \int v\,dp é maior que as variações correspondentes em volume e energia interna.

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