Um recipiente cujo volume é de 1 \mathrm{~m}^{3} contém 4 kmol de metano a 100^{\circ} \mathrm{C}. Devido a requisitos de segurança, a pressão do metano não deve ser superior a 12 MPa . Verifique a pressão utilizando
a equação de van der Waals.

Passo 1

O enunciado diz que temos um recipiente de V=1\mathrm{\,m^3} contendo n=4 kmol de metano à temperatura de 100^\circ\mathrm{C}. A pressão não pode exceder 12 MPa por segurança. Vamos usar a equação de van der Waals para gases reais e verificar se a pressão calculada fica abaixo desse limite.

Passo 2

Primeiro, convertendo unidades e reunindo dados:
n = 4\\ \text{kmol} = 4000\\ \mathrm{mol},\quad V = 1\\ \mathrm{m^3},\quad T = 100^\circ\mathrm{C} = 373,15\\ \mathrm{K},\quad R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Para o metano, os parâmetros de van der Waals são:
a = 2,283\\ \mathrm{L^2\cdot bar/mol^2} \quad\Longrightarrow\quad a = 2{,}283\times10^{-6}\,\mathrm{m^6}\times10^5\,\mathrm{Pa} = 0{,}2283\\ \mathrm{Pa\cdot m^6/mol^2},
b = 0,04278\\ \mathrm{L/mol} \quad\Longrightarrow\quad b = 0{,}04278\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/mol} = 4{,}278\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/mol}.

Passo 3

A equação de van der Waals é
\bigl(P + a\,(n/V)^2\bigr)\,(V - n\,b) \;=\; n\,R\,T.

Passo 4

Calcular a densidade molar:
\frac{n}{V} = \frac{4000}{1} = 4000\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 5

Avaliar o termo de correção a(n/V)^2:
a\Bigl(\frac{n}{V}\Bigr)^2 = 0{,}2283 \times (4000)^2 = 0{,}2283 \times 1{,}6\times10^7 \approx 3{,}65\times10^6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular o volume corrigido:
V - n\,b = 1 - 4000\times4{,}278\times10^{-5} = 1 - 0{,}17112 = 0{,}82888\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Calcular o produto nRT:
n\,R\,T = 4000 \times 8{,}314 \times 373{,}15 \approx 1{,}2406\times10^7\\ \mathrm{J} \quad(\text{ou Pa\cdotm}^3).

Passo 8

Substituindo na van der Waals e isolando P:
\bigl(P + 3{,}65\times10^6\bigr)\times0{,}82888 = 1{,}2406\times10^7 \quad\Longrightarrow\quad P + 3{,}65\times10^6 = \frac{1{,}2406\times10^7}{0{,}82888} \approx 1{,}4961\times10^7,
P \approx 1{,}4961\times10^7 - 3{,}65\times10^6 = 1{,}1301\times10^7\\ \mathrm{Pa} = 11{,}3\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Comparando com o limite de segurança de 12 MPa, vemos que
P \approx 11{,}3\\ \mathrm{MPa} < 12\\ \mathrm{MPa},
logo está dentro da faixa permitida.

Resposta

A pressão real calculada pela equação de van der Waals é aproximadamente 11,3\\ \mathrm{MPa}, ou seja, abaixo do limite de 12\\ \mathrm{MPa}.

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