Como se obtém o número médio de partículas no ensemble grande canônico?

Passo 1

O enunciado pergunta como obter o número médio de partículas no ensemble grande canônico. Este ensemble descreve um sistema em contato com reservatórios de energia e de partículas, e a quantidade-chave é a função de partição grande canônica \Xi. Vamos usar a definição de média estatística e um truque de derivada para chegar à expressão de \langle N\rangle.

Passo 2

Definimos a função de partição grande canônica como
\Xi(\beta,\mu) \;=\; \sum_{r,N} e^{-\beta\bigl(E_{r,N}-\mu N\bigr)},
onde \beta=1/(k_B T), E_{r,N} é a energia do microestado rotulado por r com N partículas, e \mu é o potencial químico.

Passo 3

A probabilidade de o sistema estar no estado (r,N) é
P_{r,N} \;=\; \frac{1}{\Xi}\,e^{-\beta\bigl(E_{r,N}-\mu N\bigr)}.
Então o número médio de partículas é
\langle N\rangle \;=\; \sum_{r,N} N\,P_{r,N} \;=\;\frac{1}{\Xi}\sum_{r,N} N\,e^{-\beta(E_{r,N}-\mu N)}.

Passo 4

Para simplificar, observamos que ao derivar \Xi em relação a \mu aparece um fator \beta N dentro do somatório:
\frac{\partial \Xi}{\partial \mu} =\sum_{r,N} \bigl(\beta N\bigr)\,e^{-\beta(E_{r,N}-\mu N)} =\beta\,\sum_{r,N} N\,e^{-\beta(E_{r,N}-\mu N)}.
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\sum_{r,N} N\,e^{-\beta(E_{r,N}-\mu N)} =\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \Xi}{\partial \mu}.

Passo 5

Substituindo no somatório de \langle N\rangle e usando \Xi, obtemos
\langle N\rangle =\frac{1}{\Xi}\,\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \Xi}{\partial \mu} =\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}.

Resposta

\boxed{\langle N\rangle =\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu} = k_{B}T\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}.}

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