Como a função de partição grande canônica está relacionada ao potencial de grandeza termodinâmica \Omega (grande potencial)?

Passo 1

Estamos vendo a estatística da grande canônica, cujo objeto central é a função de partição grande canônica (ou fator de grande partição) \Xi. O objetivo é relacionar \Xi com o potencial de grandeza termodinâmica \Omega, também chamado de grande potencial.

Passo 2

Na grande canônica, consideramos um sistema em equilíbrio com um reservatório que fixa a temperatura T, o volume V e o potencial químico \mu. A função de partição grande canônica é definida como
\Xi(T,V,\mu) =\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{s_N} \exp\bigl[-\beta\,(E_{s_N}-\mu N)\bigr],
onde \beta=1/(k_B T), E_{s_N} é a energia do estado s_N com N partículas, e k_B é a constante de Boltzmann.

Passo 3

O potencial de grandeza termodinâmica \Omega (também chamado de grande potencial) é definido para esse mesmo ensemble como
\Omega(T,V,\mu) =-\,P\,V,
em que P é a pressão do sistema. Termodinamicamente, \Omega também pode ser obtido pela transformada de Legendre do potencial livre de Helmholtz F em relação ao número de partículas.

Passo 4

Mostra-se a partir da definição de entropia e dos postulados da mecânica estatística que a relação entre \Xi e \Omega é
\Omega(T,V,\mu) =-\,k_B\,T\;\ln\!\bigl[\Xi(T,V,\mu)\bigr].
Essa expressão garante consistência com \Omega=-PV e permite extrair todas as grandezas termodinâmicas derivando \ln\Xi.

Resposta

\boxed{\Omega(T,V,\mu)=-\,k_B\,T\;\ln\!\bigl[\Xi(T,V,\mu)\bigr].}

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