Como se obtém o número médio de partículas no ensemble grande canônico?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como se obtém o valor médio do número de partículas,
, no ensemble grande canônico. O conteúdo envolvido é estatística de ensembles: definimos a função de partição grande canônica
, a probabilidade de ter
partículas e calculamos a média
a partir dessa distribuição.
Passo 2
No ensemble grande canônico introduzimos o fugacidade
e a função de partição grande canônica
onde
é a função de partição canônica para
partículas. A probabilidade de encontrar exatamente
partículas é
Passo 3
Por definição de valor médio numérico em qualquer distribuição,
Substituindo
obtemos
Passo 4
Observamos que
Multiplicando por
vemos que
Logo, a soma que aparece em
é exatamente
.
Passo 5
Substituindo na expressão de
, temos
Como
,
ou seja
. Portanto