Como se obtém o número médio de partículas no ensemble grande canônico?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como se obtém o valor médio do número de partículas, \langle N\rangle, no ensemble grande canônico. O conteúdo envolvido é estatística de ensembles: definimos a função de partição grande canônica \Xi(\mu,V,T), a probabilidade de ter N partículas e calculamos a média \langle N\rangle a partir dessa distribuição.

Passo 2

No ensemble grande canônico introduzimos o fugacidade
z = e^{\beta\mu},\quad \beta = \frac{1}{k_B T},
e a função de partição grande canônica
\Xi(\mu,V,T) \;=\; \sum_{N=0}^{\infty} z^{N}\,Z_N(V,T),
onde Z_N(V,T) é a função de partição canônica para N partículas. A probabilidade de encontrar exatamente N partículas é
P(N) \;=\;\frac{z^N\,Z_N(V,T)}{\Xi(\mu,V,T)}.

Passo 3

Por definição de valor médio numérico em qualquer distribuição,
\langle N\rangle \;=\; \sum_{N=0}^{\infty} N\,P(N).
Substituindo P(N) obtemos
\langle N\rangle =\sum_{N=0}^{\infty} N\,\frac{z^N Z_N}{\Xi} =\frac{1}{\Xi}\sum_{N=0}^{\infty}N\,z^N Z_N.

Passo 4

Observamos que
\frac{\partial \Xi}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\sum_{N=0}^{\infty}z^N Z_N\Bigr) =\sum_{N=0}^{\infty}N\,z^{\,N-1}Z_N.
Multiplicando por z vemos que
z\,\frac{\partial \Xi}{\partial z} =\sum_{N=0}^{\infty}N\,z^{N}Z_N.
Logo, a soma que aparece em \langle N\rangle é exatamente z\,\partial\Xi/\partial z.

Passo 5

Substituindo na expressão de \langle N\rangle, temos
\langle N\rangle =\frac{1}{\Xi}\;z\,\frac{\partial \Xi}{\partial z} = z\,\frac{\partial}{\partial z}\ln \Xi.
Como z=e^{\beta\mu},
\frac{\partial}{\partial \mu} =e^{-\beta\mu}\beta\,\frac{\partial}{\partial z} =\beta\,z^{-1}\,\frac{\partial}{\partial z},
ou seja z\,\partial/\partial z=(1/\beta)\,\partial/\partial\mu. Portanto
\langle N\rangle =\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial}{\partial \mu}\ln \Xi(\mu,V,T).

Resposta

\boxed{\langle N\rangle = z\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial z} \;=\;\frac{1}{\beta}\,\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}.}

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