Obtenha a expressão para
em função do volume em um processo reversível e adiabático de um gás monoatômico de van der Waals.
Passo 1
O enunciado pede: obter a expressão para
em função do volume num processo reversível e adiabático de um gás monoatômico de van der Waals.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
Informações relevantes dadas ou implícitas:
- O gás é descrito pela equação de van der Waals:
onde
é a pressão,
a temperatura,
o volume do sistema (volume total),
o número de mols,
a constante universal dos gases,
e
as constantes de van der Waals.
- O processo é reversível e adiabático, ou seja,
e a entropia é constante durante o processo reversível adiabático. - O gás é monoatômico, o que implica que a capacidade térmica molar a volume constante é
(assumindo comportamento clássico e constante). - Queremos a relação que dê
em termos de volumes (por exemplo em relação a um estado inicial e um estado final ).
Passo 2
Primeiro vamos escrever a Primeira Lei da Termodinâmica para o processo adiabático reversível. A primeira lei diz:
Para processo adiabático reversível temos
, logo
Aqui
é a energia interna do gás. Esta equação é fundamental: a variação da energia interna é compensada pelo trabalho
.
Passo 3
Precisamos de uma expressão para
para o gás de van der Waals. Usamos uma identidade termodinâmica (derivada das relações de Maxwell):
Vou explicar essa fórmula rapidamente: partindo de
e usando
e as relações de Maxwell, chega-se à expressão acima. Ela nos dá como a energia interna varia com o volume a temperatura constante, em função da equação de estado
.
Passo 4
Aplicamos a expressão acima à equação de van der Waals. Primeiro calculamos
:
pois o termo com
não depende de
. Substituindo em
temos cancelamento dos termos com
, restando
Passo 5
Integrando a derivada parcial em relação a
(mantendo
fixo) obtemos a dependência de
com
:
onde
é uma função somente de
. Para um gás real modelado por van der Waals é comum assumir que a parte térmica da energia interna é igual à do gás ideal (isto é, depende só de
):
. Assim podemos escrever
Observação: aqui
é a capacidade térmica molar a volume constante (por mol).
Passo 6
Agora aplicamos a Primeira Lei para o processo adiabático usando essa expressão de
. Tomamos diferencial total:
Lembre que a derivada de
em relação a
é
. A condição adiabática reversível nos dá
. Substituindo:
Isolando
:
Passo 7
Substituímos
pela expressão de van der Waals:
Portanto a equação diferencial fica muito simples:
Cancelamos
(assumindo
):
Passo 8
Integramos ambos os lados entre um estado inicial
e um estado final
:
As integrais são elementares e dão:
Podemos reorganizar para expor
. Primeiro escrevendo:
Passo 9
Exponenciando ambos os lados, obtemos a relação entre temperaturas e volumes:
Logo, isolando
,
Esta é a expressão geral para um gás de van der Waals com capacidade molar
constante.
Passo 10
Especializando para gás monoatômico clássico, usamos
. Assim o expoente fica
Substituindo na expressão anterior:
Também podemos escrever de forma direta a dependência de
com
em qualquer ponto do processo: