Obtenha a expressão para T_{2} em função do volume em um processo reversível e adiabático de um gás monoatômico de van der Waals.

Passo 1

O enunciado pede: obter a expressão para T_{2} em função do volume num processo reversível e adiabático de um gás monoatômico de van der Waals.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • O gás é descrito pela equação de van der Waals:
P = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{a n^{2}}{V^{2}},
onde P é a pressão, T a temperatura, V o volume do sistema (volume total), n o número de mols, R a constante universal dos gases, a e b as constantes de van der Waals.
  • O processo é reversível e adiabático, ou seja, \delta Q = 0 e a entropia é constante durante o processo reversível adiabático.
  • O gás é monoatômico, o que implica que a capacidade térmica molar a volume constante é \;C_{V}=\tfrac{3}{2}R (assumindo comportamento clássico e C_V constante).
  • Queremos a relação que dê T_{2} em termos de volumes (por exemplo em relação a um estado inicial (T_{1},V_{1}) e um estado final (T_{2},V_{2})).

Passo 2

Primeiro vamos escrever a Primeira Lei da Termodinâmica para o processo adiabático reversível. A primeira lei diz:
dU = \delta Q - P\,dV.
Para processo adiabático reversível temos \delta Q=0, logo
dU = -P\,dV.
Aqui U é a energia interna do gás. Esta equação é fundamental: a variação da energia interna é compensada pelo trabalho -P\,dV.

Passo 3

Precisamos de uma expressão para dU para o gás de van der Waals. Usamos uma identidade termodinâmica (derivada das relações de Maxwell):
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P.
Vou explicar essa fórmula rapidamente: partindo de dU = T\,dS - P\,dV e usando dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} dT + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} dV e as relações de Maxwell, chega-se à expressão acima. Ela nos dá como a energia interna varia com o volume a temperatura constante, em função da equação de estado P(T,V).

Passo 4

Aplicamos a expressão acima à equação de van der Waals. Primeiro calculamos \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}:
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}\right)_{V} = \frac{nR}{V-nb},
pois o termo com a não depende de T. Substituindo em
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\frac{nR}{V-nb} - \left(\frac{nRT}{V-nb} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}\right),
temos cancelamento dos termos com \frac{nRT}{V-nb}, restando
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = \frac{a n^{2}}{V^{2}}.

Passo 5

Integrando a derivada parcial em relação a V (mantendo T fixo) obtemos a dependência de U com V:
U(T,V) = f(T) - \frac{a n^{2}}{V},
onde f(T) é uma função somente de T. Para um gás real modelado por van der Waals é comum assumir que a parte térmica da energia interna é igual à do gás ideal (isto é, depende só de T): f(T)=nC_{V}T. Assim podemos escrever
U(T,V)=nC_{V}T - \frac{a n^{2}}{V}.
Observação: aqui C_{V} é a capacidade térmica molar a volume constante (por mol).

Passo 6

Agora aplicamos a Primeira Lei para o processo adiabático usando essa expressão de U. Tomamos diferencial total:
dU = nC_{V}\,dT + \frac{a n^{2}}{V^{2}}\,dV.
Lembre que a derivada de -a n^{2}/V em relação a V é +a n^{2}/V^{2}\,dV. A condição adiabática reversível nos dá dU = -P\,dV. Substituindo:
nC_{V}\,dT + \frac{a n^{2}}{V^{2}}\,dV = -P\,dV.
Isolando dT:
nC_{V}\,dT = -\Big(P + \frac{a n^{2}}{V^{2}}\Big)\,dV.

Passo 7

Substituímos P pela expressão de van der Waals:
P + \frac{a n^{2}}{V^{2}} = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{a n^{2}}{V^{2}} + \frac{a n^{2}}{V^{2}} = \frac{nRT}{V-nb}.
Portanto a equação diferencial fica muito simples:
nC_{V}\,dT = -\frac{nRT}{V-nb}\,dV.
Cancelamos n (assumindo n\neq 0):
C_{V}\,\frac{dT}{T} = -R\,\frac{dV}{V-nb}.

Passo 8

Integramos ambos os lados entre um estado inicial (T_{1},V_{1}) e um estado final (T_{2},V_{2}):
\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}\,\frac{dT}{T} = -R\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{dV}{V-nb}.
As integrais são elementares e dão:
C_{V}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) = -R\ln\!\left(\frac{V_{2}-nb}{V_{1}-nb}\right).
Podemos reorganizar para expor T_{2}. Primeiro escrevendo:
\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) = -\frac{R}{C_{V}}\ln\!\left(\frac{V_{2}-nb}{V_{1}-nb}\right) = \frac{R}{C_{V}}\ln\!\left(\frac{V_{1}-nb}{V_{2}-nb}\right).

Passo 9

Exponenciando ambos os lados, obtemos a relação entre temperaturas e volumes:
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{V_{1}-nb}{V_{2}-nb}\right)^{\!R/C_{V}}.
Logo, isolando T_{2},
T_{2} = T_{1}\left(\frac{V_{1}-nb}{V_{2}-nb}\right)^{\!R/C_{V}}.
Esta é a expressão geral para um gás de van der Waals com capacidade molar C_{V} constante.

Passo 10

Especializando para gás monoatômico clássico, usamos C_{V}=\tfrac{3}{2}R. Assim o expoente fica
\frac{R}{C_{V}}=\frac{R}{\tfrac{3}{2}R}=\frac{2}{3}.
Substituindo na expressão anterior:
T_{2} = T_{1}\left(\frac{V_{1}-nb}{V_{2}-nb}\right)^{\!2/3}.
Também podemos escrever de forma direta a dependência de T com V em qualquer ponto do processo:
T(V)\propto (V-nb)^{-2/3}.

Resposta

T_{2} = T_{1}\left(\dfrac{V_{1}-nb}{V_{2}-nb}\right)^{2/3}

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