Encontre a
para a
a
a partir dos seguintes dados:
30.0
50.0
70.0
90.0
110.0
4.77
11.65
16.33
19.13
20.96
130.0
150.0
170.0
190.0
210.0
22.13
22.97
23.61
24.09
214.42
230.0
250.0
270.0
24.73
25.03
25.31
Assuma que a fórmula de Debye pode ser usada entre 0 K e
. Observe que há um numero ímpar de conjunto de dados que estão igualmente espaçados, de modo que a regra de Simpson pode ser empregada.
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30.0 | 50.0 | 70.0 | 90.0 | 110.0 |
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4.77 | 11.65 | 16.33 | 19.13 | 20.96 |
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130.0 | 150.0 | 170.0 | 190.0 | 210.0 |
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22.13 | 22.97 | 23.61 | 24.09 | 214.42 |
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230.0 | 250.0 | 270.0 | ||
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24.73 | 25.03 | 25.31 |
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.\n
- Pede-se a entropia padrão molar de
à temperatura , isto é .\n - Dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado):\n
\n
\n - Observação importante sobre os dados: o valor
em parece um erro tipográfico, pois todos os demais valores são da ordem de . Vou assumir que o correto é (troca do dígito extra), e usarei . Se essa suposição estiver errada, o resultado muda um pouco.\n - Informação adicional do enunciado: usar a fórmula de Debye entre
e , e usar a regra de Simpson (composta) no intervalo com dados igualmente espaçados.
Passo 2
Estratégia matemática e fórmula fundamental.\n
- Pela termodinâmica, a entropia molar relativa a
é dada por
- Pelo terceiro princípio (cristal perfeito),
. Portanto
- Vou dividir a integral em duas partes:
- Entre
e o enunciado manda usar a lei de Debye. No limite de baixas temperaturas a lei de Debye dá a aproximação
onde
é constante (dependendo da temperatura de Debye). Assim
e a integral de
a
é imediata.\n
- Entre
e usaremos a regra de Simpson composta. Para isso os pontos estão igualmente espaçados com passo
número de intervalos
(par), e
pontos, apropriado para Simpson. Se definirmos
a regra de Simpson composta dá
onde
e
.
Passo 3
Cálculo analítico da integral de
a
usando o comportamento de Debye a baixas
.\n
- Como
e sabemos o valor em , obtemos por
- Então
- Substituindo o valor da tabela
, obtemos
Passo 4
Preparação para aplicar Simpson de
a
: cálculo de
em cada ponto e organização.\n
- Lista dos pontos
e (usei a correção conforme explicado):
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
(assumido)\n
\n
\n
.\n - Agora calculo
em cada ponto (todos os valores em ):\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
Passo 5
Aplicação explícita da regra de Simpson composta.\n
- Aqui
. A soma segundo Simpson é
- Calculo das somas:\n
Soma doscom índice ímpar: Portanto vezes essa soma é \n
Soma doscom índice par (exceto extremos): Portanto vezes essa soma é \n
Extremes\n - Somando tudo dentro do colchete:
- Multiplicando por
:
Passo 6
Soma das duas parcelas e resultado final com comentário sobre arredondamento e incerteza.\n
- Soma total
- Arredondando de forma apropriada (dados com 3 dígitos significativos), podemos apresentar
- Observação final: este valor depende ligeiramente da suposição que fiz sobre o valor em
. Se o dado original realmente fosse (o que é improvável), o resultado mudaria significativamente; por isso a suposição de é razoável e conduz a este resultado.