Uma onda plana com frequência de 30[\mathrm{MHz}] incide normalmente do ar em um bloco dielétrico semi-infinito, com \varepsilon r=4 (Considere \mu=\mu 0 ). Se a amplitude do campo elétrico incidente é de 80[\mathrm{~V} / \mathrm{m}], calcule:
a) o coeficiente de reflexão na interface;
b) a densidade de potência incidente;
c) a densidade de potência refletida;
d) a densidade de potência transmitida.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede quatro quantidades:
  • Frequência: \,30\\ \mathrm{MHz} (não será necessária para os cálculos abaixo porque o meio é lossless e a incidência é normal).
  • Meio 1 (ar): \varepsilon_{r1}=1, \mu=\mu_0.
  • Meio 2 (dielétrico semi-infinito): \varepsilon_{r2}=4, \mu=\mu_0.
  • Amplitude do campo elétrico incidente: \,E_{\mathrm{inc}}=80\\ \mathrm{V/m}.
O que pedirão:
a) o coeficiente de reflexão na interface (coeficiente de amplitude \Gamma);
b) a densidade de potência incidente \langle S_{\mathrm{inc}}\rangle;
c) a densidade de potência refletida \langle S_{\mathrm{refl}}\rangle;
d) a densidade de potência transmitida \langle S_{\mathrm{trans}}\rangle.

Passo 2

Conceito útil: impedância intrínseca de um meio. Para um meio homogêneo sem perdas a impedância intrínseca é
\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}.
Aqui \mu=\mu_0 e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r. A impedância do ar (meio 1) é a impedância do vácuo:
\eta_1=\eta_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 377\\ \Omega.
Para o dielétrico (meio 2) com \varepsilon_{r2}=4:
\eta_2=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}}=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{r2}}}=\dfrac{\eta_0}{2}\approx \dfrac{377}{2}=188{,}5\\ \Omega.
(Resumo numérico usado adiante: \eta_1\approx377\\ \Omega,\\ \eta_2\approx188{,}5\\ \Omega.)

Passo 3

Coeficiente de reflexão (amplitude) para incidência normal entre dois meios:
\Gamma=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}.
Substituindo \eta_2=\eta_0/2 e \eta_1=\eta_0:
\Gamma=\dfrac{\dfrac{\eta_0}{2}-\eta_0}{\dfrac{\eta_0}{2}+\eta_0} =\dfrac{-\dfrac{\eta_0}{2}}{\dfrac{3\eta_0}{2}}=-\dfrac{1}{3}.
Portanto o coeficiente de reflexão é \Gamma=-\tfrac{1}{3}. Isso significa que a onda refletida tem módulo |\Gamma|=\tfrac{1}{3} e sofre uma inversão de fase de \pi rad (180°) por causa do sinal negativo.

Passo 4

Fórmula para a densidade média de potência de uma onda plana harmônica (valor médio do vetor de Poynting):
\langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{|E|^2}{\eta},
onde E é a amplitude do campo elétrico e \eta a impedância do meio. Para a onda incidente em ar:
\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{E_{\mathrm{inc}}^2}{\eta_1} =\dfrac{1}{2}\dfrac{80^2}{\eta_0} =\dfrac{3200}{377}\\ \mathrm{W/m^2}.
Calculando numericamente:
\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle\approx 8{,}489\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Densidade de potência refletida. A amplitude do campo refletido é E_{\mathrm{refl}}=\Gamma E_{\mathrm{inc}}. Como potência usa módulo quadrado:
\langle S_{\mathrm{refl}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{|E_{\mathrm{refl}}|^2}{\eta_1} =\dfrac{1}{2}\dfrac{|\Gamma|^2|E_{\mathrm{inc}}|^2}{\eta_1} =|\Gamma|^2\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle.
Com |\Gamma|=\tfrac{1}{3}:
\langle S_{\mathrm{refl}}\rangle=\dfrac{1}{9}\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle =\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{3200}{377}\\ \mathrm{W/m^2}.
Numericamente:
\langle S_{\mathrm{refl}}\rangle\approx 0{,}943\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

Densidade de potência transmitida. Primeiro a amplitude do campo transmitido na região 2:
E_{\mathrm{trans}}=(1+\Gamma)E_{\mathrm{inc}}.
Usando \Gamma=-\tfrac{1}{3}:
E_{\mathrm{trans}}=\left(1-\tfrac{1}{3}\right)E_{\mathrm{inc}}=\tfrac{2}{3}E_{\mathrm{inc}}=\tfrac{160}{3}\\ \mathrm{V/m}\\ (\approx53{,}333\\ \mathrm{V/m}).
A densidade média de potência transmitida em meio 2 é
\langle S_{\mathrm{trans}}\rangle=\dfrac{1}{2}\dfrac{|E_{\mathrm{trans}}|^2}{\eta_2}.
Substituindo E_{\mathrm{trans}}=\tfrac{2}{3}E_{\mathrm{inc}} e \eta_2=\eta_0/2:
\langle S_{\mathrm{trans}}\rangle =\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(\tfrac{2}{3}E_{\mathrm{inc}}\right)^2}{\eta_0/2} =\dfrac{1}{2}\dfrac{\tfrac{4}{9}E_{\mathrm{inc}}^2}{\eta_0/2} =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{2E_{\mathrm{inc}}^2}{\eta_0} =\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{1}{2}\dfrac{E_{\mathrm{inc}}^2}{\eta_0} =\dfrac{4}{9}\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle.
Numericamente:
\langle S_{\mathrm{trans}}\rangle=\dfrac{4}{9}\cdot 8{,}489\\ \mathrm{W/m^2}\approx 7{,}546\\ \mathrm{W/m^2}.
Verificação de conservação de potência: \langle S_{\mathrm{inc}}\rangle=\langle S_{\mathrm{refl}}\rangle+\langle S_{\mathrm{trans}}\rangle (confere numericamente).

Passo 7

Resumo prático: o coeficiente de reflexão é simples e exato -\tfrac{1}{3}. As potências por unidade de área foram calculadas com a fórmula do vetor de Poynting médio e conferem a conservação de energia. Vai dar tudo certo na prova — respira e lembra dos passos: achar impedâncias, calcular \Gamma, usar \langle S\rangle=\tfrac{1}{2}|E|^2/\eta e verificar somatório.

Resposta

a) \Gamma=-\dfrac{1}{3} (módulo |\Gamma|=\dfrac{1}{3}, fase \pi rad)
b) \langle S_{\mathrm{inc}}\rangle=\dfrac{3200}{377}\\ \mathrm{W/m^2}\approx 8{,}489\\ \mathrm{W/m^2}
c) \langle S_{\mathrm{refl}}\rangle=\dfrac{1}{9}\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle\approx 0{,}943\\ \mathrm{W/m^2}
d) \langle S_{\mathrm{trans}}\rangle=\dfrac{4}{9}\langle S_{\mathrm{inc}}\rangle\approx 7{,}546\\ \mathrm{W/m^2}