Os operadores mecânico-quânticos são lineares sendo assim, realize as seguintes:
\hat{A}\left(x^{2}\right), onde \hat{A}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}+2 \frac{d}{d x}+3

Passo 1

O enunciado nos dá o operador
\hat{A} = \frac{d^{2}}{d x^{2}} \;+\; 2\,\frac{d}{d x} \;+\; 3
e pede para calcular \hat{A}\bigl(x^{2}\bigr). Como o operador é linear, basta aplicar cada termo ao monômio x^{2} e somar os resultados.

Passo 2

Calcular as derivadas necessárias de x^{2}:
\frac{d}{d x}\bigl(x^{2}\bigr) = 2x,
\frac{d^{2}}{d x^{2}}\bigl(x^{2}\bigr) = 2.

Passo 3

Substituindo em \hat{A}\bigl(x^{2}\bigr), temos
\hat{A}\bigl(x^{2}\bigr) = \underbrace{\frac{d^{2}}{d x^{2}}\bigl(x^{2}\bigr)}_{2} + 2\,\underbrace{\frac{d}{d x}\bigl(x^{2}\bigr)}_{2x} + 3\,\bigl(x^{2}\bigr) = 2 + 2\cdot 2x + 3x^{2} = 2 + 4x + 3x^{2}.

Resposta

\hat{A}\bigl(x^{2}\bigr) = 2 + 4x + 3x^{2}.

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