Há também um princípio de incerteza para energia e tempo, conforme a equação (3):
\Delta E \Delta t \geq h
Mostre que ambos os lados desta expressão tem as mesmas unidades de medida.

Passo 1

O enunciado pede uma análise dimensional da desigualdade
\Delta E\,\Delta t \ge h
e quer que mostremos que o produto \Delta E\,\Delta t e a constante de Planck h têm a mesma unidade de medida. Vamos usar as definições de unidade de energia e de tempo e comparar com a de h.

Passo 2

A energia \Delta E é medida em joules. Por definição,
\mathrm{J} = \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}.

Passo 3

Multiplicando essa unidade de energia pela unidade de tempo \mathrm{s}, obtemos
\mathrm{J}\cdot\mathrm{s} \;=\; \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}\,\times\,\mathrm{s} \;=\; \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}.
Logo, \Delta E\,\Delta t tem unidade \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}.

Passo 4

A constante de Planck h é definida experimentalmente com unidade de ação, ou seja, também em joule-segundo:
[h] = \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} \;=\; \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}.

Passo 5

Como ambos — o produto \Delta E\,\Delta t e h — têm unidade \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}, a desigualdade está dimensionalmente consistente.

Resposta

Ambos os lados têm unidade de joule-segundo, isto é, \mathrm{J}\cdot\mathrm{s} (equivalentemente \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-1}).

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