Gás hélio (\mathrm{He}) contido em um sistema pistão-cilindro, inicialmente a p_{1}=300 \mathrm{kPa}, T_{1}=277^{\circ} \mathrm{C} e ocupando um volume V_{1}=0,5 \mathrm{~m}^{3}, é resfriado de forma isobárica até atingir T_{2}=127^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, o He é expandido isotermicamente até que o volume volte ao valor inicial V_{3}=V_{1}. Considere que, nessas condições, o hélio se comporta como gás ideal.
(a) Esboce os dois processos em um diagrama p-V, mostrando suas direções e os estados 1,2 e 3 .
(b) Determine o trabalho realizado sobre o He durante os dois processos.
(c) Determine o calor total transferido para a vizinhança durante os dois processos.

Passo 1

O enunciado dá hélio ideal num pistão-cilindro com
• pressão inicial \displaystyle p_{1}=300\\ \mathrm{kPa},
• temperatura inicial \displaystyle T_{1}=277{{}^{\circ}\!}\mathrm{C}=550\\ \mathrm{K},
• volume inicial \displaystyle V_{1}=0{,}5\\ \mathrm{m}^{3}.
Processo 1: resfriamento isobárico até \displaystyle T_{2}=127{{}^{\circ}\!}\mathrm{C}=400\\ \mathrm{K}, definindo o estado 2.
Processo 2: expansão isotérmica em \displaystyle T_{2}=400\\ \mathrm{K} de \displaystyle V_{2} até \displaystyle V_{3}=V_{1}=0{,}5\\ \mathrm{m}^{3}, definindo o estado 3.
Conteúdo: gás ideal, trabalho em processos isobárico e isotérmico, primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Calcular o volume em 2 usando a lei dos gases ideais e o fato de p constante em 1\to 2:
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}} \quad\Longrightarrow\quad V_{2}=V_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}} =0{,}5\cdot\frac{400}{550} =0{,}3636\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Trabalho realizado sobre o He no isobárico ( 1\to 2):
o trabalho realizado pelo gás é
W_{\text{by,1}}=p_{1}\,(V_{2}-V_{1}) =300\times10^{3}\,(0{,}3636-0{,}5) =-40{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Logo o trabalho sobre o gás é
W_{\text{on,1}}=-W_{\text{by,1}} =+40{,}9\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Trabalho realizado sobre o He na expansão isotérmica ( 2\to 3):
em isoterma \Delta U=0 e
W_{\text{by,2}} =nRT_{2}\ln\!\biggl(\frac{V_{3}}{V_{2}}\biggr) =p_{2}V_{2}\ln\!\biggl(\frac{V_{3}}{V_{2}}\biggr).
Como p_{2}=p_{1}=300\\ \mathrm{kPa} e V_{2}=0{,}3636\\ \mathrm{m}^{3},
W_{\text{by,2}} =300\times10^{3}\times0{,}3636 \ln\!\biggl(\frac{0{,}5}{0{,}3636}\biggr) \approx 34{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Portanto o trabalho sobre o gás é
W_{\text{on,2}}=-W_{\text{by,2}} =-34{,}7\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calor total transferido para a vizinhança (isto é, calor que sai do gás):
em 1\to 2 (isobárico) usa-se
Q_{1} =nC_{p}(T_{2}-T_{1}) \quad\text{com}\quad C_{p}=\tfrac{5}{2}R.
O número de mols é
n=\frac{p_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{300\times10^{3}\times0{,}5}{8{,}314\times550} \approx32{,}8\\ \mathrm{mol}.
Então
Q_{1} =32{,}8\cdot\tfrac{5}{2}\,8{,}314\,(400-550) \approx -102{,}3\\ \mathrm{kJ},
ou seja, 102{,}3\\ \mathrm{kJ} saem do gás.
em 2\to 3 (isotérmico) \Delta U=0, logo
Q_{2}=W_{\text{by,2}}=+34{,}7\\ \mathrm{kJ},
isto é, o gás recebe 34{,}7\\ \mathrm{kJ} da vizinhança.
Calor para a vizinhança (positivo quando sai do gás) é
Q_{\text{out,tot}} =-Q_{1}-Q_{2} =102{,}3-34{,}7 =67{,}6\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

(a) Diagrama p- V: reta horizontal decrescente de 1 a 2 (isobárico de resfriamento), depois curva hiperbólica de 2 a 3 (isotérmico de expansão), com setas indicando o sentido 1\to 2\to 3.
(b) W_{\text{on,1}}=+40{,}9\\ \mathrm{kJ}, \quad W_{\text{on,2}}=-34{,}7\\ \mathrm{kJ}.
(c) Q_{\text{out,tot}}=67{,}6\\ \mathrm{kJ}.

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