Qual a origem da Energia Potencial, \mathrm{E}_{p} de um Sistema de Partículas?

Passo 1

O enunciado pede para explicar de onde vem a energia potencial \mathrm{E}_{p} num sistema de partículas. Vamos tratar do conceito de forças conservativas e de trabalho, pois a energia potencial é definida justamente a partir do trabalho realizado por (ou contra) essas forças ao mover as partículas.

Passo 2

Forças conservativas são aquelas cujo trabalho entre dois pontos independe do caminho seguido, dependendo apenas das posições inicial e final. Denotando por \mathbf{F}(\mathbf{r}) uma força conservativa e por \mathbf{r}_{0} a posição de referência, o trabalho realizado por \mathbf{F} ao levar a partícula de \mathbf{r}_{0} até \mathbf{r} é
W(\mathbf{r}_{0}\to\mathbf{r}) \;=\;\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}}\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot d\mathbf{r}'.
Como essa força é conservativa, podemos definir uma energia potencial \mathrm{E}_{p}(\mathbf{r}) tal que
\Delta \mathrm{E}_{p} \;=\; -\,W(\mathbf{r}_{0}\to\mathbf{r})
ou seja,
\mathrm{E}_{p}(\mathbf{r}) \;=\; -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}}\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot d\mathbf{r}' \;+\;\mathrm{const}.

Passo 3

A escolha do ponto de referência \mathbf{r}_{0} (e portanto da constante) é arbitrária: normalmente toma-se \mathrm{E}_{p}=0 quando as partículas estão infinitamente afastadas ou em alguma configuração de conveniência. O que importa são as diferenças \Delta \mathrm{E}_{p}, que representam o trabalho reversível necessário para deslocar as partículas entre duas configurações.

Passo 4

Fisicamente, a energia potencial de um sistema de partículas surge das interações internas (por exemplo, gravitacional, eletrostática, elástica etc.). Esses campos ou forças armazenam energia à medida que modificamos as distâncias ou configurações das partículas: retirar ou adicionar essa energia potencial corresponde a realizar trabalho contra essas forças internas.

Resposta

A energia potencial \mathrm{E}_{p} de um sistema de partículas tem origem no trabalho realizado por (ou contra) forças conservativas internas ao mover as partículas de uma configuração de referência até a configuração em questão. É dada por
\mathrm{E}_{p}(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}}\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot d\mathbf{r}' + \text{const},
e reflete a energia armazenada nos campos de interação que mantêm o sistema unido.

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