Um oscilador harmônico simples unidimensional tem seus níveis de energia dados por:
E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega
O número quântico " n " pode assumir valores inteiros \mathrm{n}=0,1,2,3, \ldots \mathrm{e} " \omega " é a freqüência angular característica do oscilador. Suponha que o oscilador esteja em contato térmico com um reservatório de calor na temperatura T .
a) Determine a função de partição do sistema. Dica: utilize a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.
b) Calcule a energia média do oscilador em função da temperatura. Analise os casos limites para temperaturas baixas e elevadas. Qual a energia do estado fundamental quando a temperatura tende a zero?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados:
Níveis de energia do oscilador harmônico unidimensional:
O sistema está em equilíbrio térmico com um reservatório à temperatura T.
Perguntas:
a) Determinar a função de partição do sistema (partição canônica).
b) Calcular a energia média do oscilador em função da temperatura T. Analisar os limites de baixa e alta temperatura. Determinar a energia do estado fundamental quando T\to0.
Informações úteis que vamos usar (sem resolver ainda):
No ensemble canônico, usamos \beta=\dfrac{1}{k_B T} (onde k_B é a constante de Boltzmann).
A função de partição é uma soma sobre todos os níveis de energia: Z=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta E_n}.
Passo 2
Definimos a função de partição canônica e substituímos os níveis de energia.
Interpretação física: a energia tende para a energia do estado fundamental (energia zero-point) \tfrac{1}{2}\hbar\omega. Mesmo à temperatura zero há essa energia devido às flutuações quânticas.
Passo 6
Análise do limite de alta temperatura (T\to\infty, ou \beta\to 0).
Para \beta\hbar\omega\ll 1 podemos usar a expansão exponencial e^{x}-1\approx x para x pequeno. Tomando x=\beta\hbar\omega:
e^{\beta\hbar\omega}-1\approx \beta\hbar\omega.
Então a parcela térmica se aproxima de
\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\approx \frac{\hbar\omega}{\beta\hbar\omega}=\frac{1}{\beta}=k_B T.
Logo, para altas temperaturas
\langle E\rangle \approx \frac{\hbar\omega}{2}+k_B T.
Como k_B T cresce sem limite e \tfrac{\hbar\omega}{2} é fixo, a parte dominante é k_B T. Desprezando a pequena constante quântica, obtemos o resultado clássico pela equipartição de energia: \langle E\rangle\approx k_B T (energia média do oscilador harmônico unidimensional no limite clássico).
Passo 7
Resumo físico e comentários finais (motivação para a prova, descanso rápido):
A função de partição resume toda a estatística do sistema e foi obtida somando a série geométrica dos níveis.
A energia média tem uma contribuição quântica de zero-point \tfrac{1}{2}\hbar\omega e uma parte térmica que segue a distribuição de Bose-Einstein: \hbar\omega/(e^{\beta\hbar\omega}-1).
Nos limites: em T\to0 sobra apenas o zero-point; em T\to\infty chega-se ao resultado clássico k_B T (com pequeno acréscimo \tfrac{1}{2}\hbar\omega que se torna irrelevante).