(Osec-SP) Duas esferas de cobre, uma oca e outra maciça, possuem raios iguais. Quando submetidas à mesma elevação de temperatura, a dilatação da esfera oca, comparada com a da maciça, é: a)
b)
c)
d) a mesma
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma comparação:
- Duas esferas de cobre têm raios externos iguais. Uma é oca (tem uma cavidade interna) e a outra é maciça (sólida).
- Ambas são submetidas à mesma elevação de temperatura
.
O que o enunciado pede: comparar a dilatação da esfera oca com a da esfera maciça (opções:ou “a mesma”).
Passo 2
Conceito básico de dilatação térmica (aula rápida, sem pular etapas).
- Cada dimensão linear de um corpo homogêneo sofre expansão proporcional à sua dimensão inicial, ao coeficiente de expansão linear do material e à variação de temperatura. A fórmula é
onde:
-
é a variação de um comprimento linear (por exemplo, o raio), -
é o coeficiente de expansão linear do material (para cobre, é um número positivo, mas o valor numérico não é necessário aqui), -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura. - Para volumes pequenos de material homogêneo, a variação volumétrica relativa é, em primeira aproximação (primeira ordem em
),
Explicação rápida do porquê: um aumento linear em cada direção por um fator
faz o volume mudar por um fator
quando
é pequeno.
Passo 3
Aplicando ao raio das esferas.
- As duas esferas têm o mesmo raio externo inicial
. Pelo conceito acima, a variação do raio externo, para qualquer peça de cobre com raio , é
Isso vale tanto para a esfera maciça quanto para a esfera oca, porque a expansão linear do material que determina o aumento do raio externo depende só de
, e não de haver cavidade interna.
Passo 4
Volume externo da esfera maciça (antes e depois do aquecimento).
- Volume inicial da esfera maciça:
- Após aquecer, o novo raio é
. O novo volume externo é
- Para pequenas
expandimos , logo a variação do volume externo da esfera maciça, em primeira ordem, é
Passo 5
Volume externo da esfera oca (antes e depois) e comparação.
- A esfera oca tem o mesmo raio externo inicial
. Portanto o aumento do seu raio externo é o mesmo:
e seu volume externo após aquecer é exatamente o mesmo
que obtivemos para a esfera maciça (porque depende apenas do raio externo).
- Assim, a variação do volume externo da esfera oca, em primeira ordem, é
igual à da esfera maciça, já que
aqui é o volume externo inicial
(o mesmo para as duas).
Passo 6
Observação adicional (útil para entendimento na prova).
- Se alguém perguntar sobre a variação do volume do material (isto é, do metal) da esfera oca comparada com a maciça: o volume do material da oca é
. Após aquecer, tanto quanto aumentam com o mesmo fator relativo , então a variação absoluta do volume do material também satisfaz
isto é, a mesma fração relativa de aumento. Logo, em termos relativos (percentual), qualquer porção de cobre sofre a mesma dilatação volumétrica, independentemente de ser parte de um corpo maciço ou de uma casca oca.
Passo 7
Conclusão final direta e incentivo rápido.
- Portanto, a dilatação (considerando o aumento do volume associado ao mesmo raio externo) da esfera oca é a mesma que a da esfera maciça. Dá pra levar essa ideia pra prova: o que importa é a dimensão linear inicial e o coeficiente
; formas ocas ou maciças com a mesma dimensão linear externa terão a mesma dilatação externa.
Resposta
d) a mesma