(Osec-SP) Duas esferas de cobre, uma oca e outra maciça, possuem raios iguais. Quando submetidas à mesma elevação de temperatura, a dilatação da esfera oca, comparada com a da maciça, é: a) 1 / 3 \quad b) 3 / 4 \quad c) 4 / 3 \quad d) a mesma

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma comparação:
  • Duas esferas de cobre têm raios externos iguais. Uma é oca (tem uma cavidade interna) e a outra é maciça (sólida).
  • Ambas são submetidas à mesma elevação de temperatura \Delta T.
    O que o enunciado pede: comparar a dilatação da esfera oca com a da esfera maciça (opções: 1/3,\;3/4,\;4/3, ou “a mesma”).

Passo 2

Conceito básico de dilatação térmica (aula rápida, sem pular etapas).
  • Cada dimensão linear de um corpo homogêneo sofre expansão proporcional à sua dimensão inicial, ao coeficiente de expansão linear do material e à variação de temperatura. A fórmula é
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de um comprimento linear (por exemplo, o raio),
  • \alpha é o coeficiente de expansão linear do material (para cobre, é um número positivo, mas o valor numérico não é necessário aqui),
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \Delta T é a variação de temperatura.
  • Para volumes pequenos de material homogêneo, a variação volumétrica relativa é, em primeira aproximação (primeira ordem em \alpha\Delta T),
\frac{\Delta V}{V_0}\approx 3\alpha\,\Delta T.
Explicação rápida do porquê: um aumento linear em cada direção por um fator (1+\alpha\Delta T) faz o volume mudar por um fator (1+\alpha\Delta T)^3\approx 1+3\alpha\Delta T quando \alpha\Delta T é pequeno.

Passo 3

Aplicando ao raio das esferas.
  • As duas esferas têm o mesmo raio externo inicial R. Pelo conceito acima, a variação do raio externo, para qualquer peça de cobre com raio R, é
\Delta R = \alpha\,R\,\Delta T.
Isso vale tanto para a esfera maciça quanto para a esfera oca, porque a expansão linear do material que determina o aumento do raio externo depende só de R,\alpha,\Delta T, e não de haver cavidade interna.

Passo 4

Volume externo da esfera maciça (antes e depois do aquecimento).
  • Volume inicial da esfera maciça:
V_0=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Após aquecer, o novo raio é R' = R+\Delta R = R(1+\alpha\Delta T). O novo volume externo é
V'=\frac{4}{3}\pi (R')^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}(1+\alpha\Delta T)^{3}.
  • Para pequenas \alpha\Delta T expandimos (1+\alpha\Delta T)^{3}\approx 1+3\alpha\Delta T, logo a variação do volume externo da esfera maciça, em primeira ordem, é
\Delta V_{\text{maciça}}=V'-V_0\approx 3\alpha\Delta T\;V_0.ç

Passo 5

Volume externo da esfera oca (antes e depois) e comparação.
  • A esfera oca tem o mesmo raio externo inicial R. Portanto o aumento do seu raio externo é o mesmo:
\Delta R=\alpha R\Delta T,
e seu volume externo após aquecer é exatamente o mesmo V'=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}(1+\alpha\Delta T)^{3} que obtivemos para a esfera maciça (porque depende apenas do raio externo).
  • Assim, a variação do volume externo da esfera oca, em primeira ordem, é
\Delta V_{\text{oca}}\approx 3\alpha\Delta T\;V_0,
igual à da esfera maciça, já que V_0 aqui é o volume externo inicial \tfrac{4}{3}\pi R^{3} (o mesmo para as duas).

Passo 6

Observação adicional (útil para entendimento na prova).
  • Se alguém perguntar sobre a variação do volume do material (isto é, do metal) da esfera oca comparada com a maciça: o volume do material da oca é V_{\text{mat}}=V_{\text{ext}}-V_{\text{int}}. Após aquecer, tanto V_{\text{ext}} quanto V_{\text{int}} aumentam com o mesmo fator relativo 3\alpha\Delta T, então a variação absoluta do volume do material também satisfaz
\frac{\Delta V_{\text{mat}}}{V_{\text{mat}}}\approx 3\alpha\Delta T,
isto é, a mesma fração relativa de aumento. Logo, em termos relativos (percentual), qualquer porção de cobre sofre a mesma dilatação volumétrica, independentemente de ser parte de um corpo maciço ou de uma casca oca.

Passo 7

Conclusão final direta e incentivo rápido.
  • Portanto, a dilatação (considerando o aumento do volume associado ao mesmo raio externo) da esfera oca é a mesma que a da esfera maciça. Dá pra levar essa ideia pra prova: o que importa é a dimensão linear inicial e o coeficiente \alpha; formas ocas ou maciças com a mesma dimensão linear externa terão a mesma dilatação externa.

Resposta

d) a mesma

Exercícios relacionados