1. Partindo da relação v=x_{1} \bar{V}_{1}+x_{2} \bar{V}_{2}, demonstre as equações:
\begin{aligned} & \bar{V}_{2}=v-x_{1} \frac{d v}{d x_{1}} \\\ & \bar{V}_{1}=v+x_{2} \frac{d v}{d x_{1}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação do volume molar médio de uma mistura binária:
v = x_{1}\,\bar{V}_{1} + x_{2}\,\bar{V}_{2}
e pede para demonstrar que
\bar{V}_{2} = v - x_{1}\,\frac{dv}{dx_{1}}\,,\quad \bar{V}_{1} = v + x_{2}\,\frac{dv}{dx_{1}}\,.
Para isso, vamos derivar em função de x_{1} (mantendo T,P constantes) e usar a relação de Gibbs–Duhem para volumes molares:
x_{1}\,d\bar{V}_{1} + x_{2}\,d\bar{V}_{2} = 0\,.

Passo 2

Aplicando a regra do produto à expressão de v em relação a x_{1}:
\frac{dv}{dx_{1}} = \frac{d}{dx_{1}}\bigl(x_{1}\bar{V}_{1}\bigr) + \frac{d}{dx_{1}}\bigl(x_{2}\bar{V}_{2}\bigr) = \bar{V}_{1} + x_{1}\frac{d\bar{V}_{1}}{dx_{1}} - \bar{V}_{2} + x_{2}\frac{d\bar{V}_{2}}{dx_{1}}.
Mas da relação de Gibbs–Duhem obtemos
x_{1}\frac{d\bar{V}_{1}}{dx_{1}} + x_{2}\frac{d\bar{V}_{2}}{dx_{1}} = 0,
logo
\frac{dv}{dx_{1}} = \bar{V}_{1} - \bar{V}_{2}.

Passo 3

Isolando \bar{V}_{1} em \tfrac{dv}{dx_{1}} = \bar{V}_{1} - \bar{V}_{2}
temos
\bar{V}_{1} = \frac{dv}{dx_{1}} + \bar{V}_{2}.
Agora substituímos em v = x_{1}\bar{V}_{1} + x_{2}\bar{V}_{2}:
v = x_{1}\Bigl(\frac{dv}{dx_{1}} + \bar{V}_{2}\Bigr) + x_{2}\bar{V}_{2} = x_{1}\frac{dv}{dx_{1}} + \bar{V}_{2}(x_{1}+x_{2}) = x_{1}\frac{dv}{dx_{1}} + \bar{V}_{2}.
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\bar{V}_{2} = v - x_{1}\,\frac{dv}{dx_{1}}.

Passo 4

Por fim, inserindo esse valor de \bar{V}_{2} em \bar{V}_{1} = \frac{dv}{dx_{1}} + \bar{V}_{2}
resulta
\bar{V}_{1} = \frac{dv}{dx_{1}} + \Bigl(v - x_{1}\frac{dv}{dx_{1}}\Bigr) = v + \bigl(1 - x_{1}\bigr)\frac{dv}{dx_{1}} = v + x_{2}\,\frac{dv}{dx_{1}}.

Resposta

\bar{V}_{2} = v - x_{1}\,\frac{dv}{dx_{1}}, \qquad \bar{V}_{1} = v + x_{2}\,\frac{dv}{dx_{1}}.

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