A partir da equação de van der Waals,
E sabendo que a capacidade térmica molar
é constante para um fluido de van der Waals, obtenha a relação fundamental do fluido de van der Waals na representação da energia livre de Helmholtz molar.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que achar a energia livre de Helmholtz molar
para um gás de van der Waals, cuja equação de estado é
e o calor molar a volume constante
é constante.
Conteúdo: Termodinâmica – potenciais termodinâmicos e relações de Maxwell.
Vamos usar:
Conteúdo: Termodinâmica – potenciais termodinâmicos e relações de Maxwell.
Vamos usar:
- A definição diferencial de
: . - A relação
. - A relação de Maxwell
.
Passo 2
Primeiro, preciso achar a entropia molar
. Como
é constante, definimos
Integramos em
, mantendo
fixo:
onde
é uma “constante” de integração que depende só de
.
Passo 3
Agora achamos
usando a relação de Maxwell.
Sabemos que
Sabemos que
Do nosso
,
E da equação de estado,
Logo
Descartamos a constante absoluta (ela vira um offset em
que não interessa).
Então
Passo 4
Para achar
temos duas opções: integrar
ou usar
.
Como é constante, a energia interna molar é
Como
Mas num gás de van der Waals idealizado só aparece correção
em
, e
depende só de
mais um termo
. De thermodinâmica de vdW:
Passo 5
Agora monte
:
Expandindo:
Podemos organizar em forma mais “bonitinha”:
Resposta
que é a relação fundamental na representação da energia livre de Helmholtz molar do fluido de van der Waals.