A partir da equação de van der Waals,
E sabendo que a capacidade térmica molar
é constante para um fluido de van der Waals, obtenha por transformação de Legendre a energia livre de Gibbs.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a energia livre de Gibbs G(T,p) de um gás de van der Waals. A equação de estado é
e sabemos que
O que vamos usar:
1) A relação
2) A primeira lei na forma
3) Definição de energia livre de Helmholtz
4) Legendre transform para obter
Passo 2
Primeiro vamos achar a entropia molar
.
Usamos
Usamos
e da equação de van der Waals
Integrando:
onde
Passo 3
Agora obtemos a energia interna molar
via
Substituindo
$$du=c_v,dT+\Bigl(T\frac{R}{v-b}-\bigl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\bigr)\Bigr)dv
=c_v,dT+\frac{a}{v^2},dv.u(T,v)=c_v,T-\frac{a}{v}+u_0,$$
com
constante de integração.
Passo 4
Passamos pra energia livre de Helmholtz
:
Organizando:
Passo 5
Por fim, fazemos a transformação de Legendre
e usamos
Substituindo
:
Se quiser simplificar, basta agrupar termos constantes e termos em
.
Resposta
A energia livre de Gibbs molar de um gás de van der Waals, até constantes de referência, pode ser escrita como
Aqui
e
aparecem como constantes de referência que fixam o ponto zero de entropia e energia.