A partir da equação de van der Waals,
p=R Tv-b-av^2,
E sabendo que a capacidade térmica molar cv=T(partial spartial T)v é constante para um fluido de van der Waals, obtenha por transformação de Legendre a energia livre de Gibbs.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a energia livre de Gibbs G(T,p) de um gás de van der Waals. A equação de estado é
p=RTv-b-av^2,
e sabemos que é constante.
O que vamos usar:
1) A relação (é um resultado geral de termodinâmica).
2) A primeira lei na forma .
3) Definição de energia livre de Helmholtz .
4) Legendre transform para obter .

Passo 2

Primeiro vamos achar a entropia molar ds=cvT,dT+(partial ppartial T)v dv.
Usamos
(partial ppartial T)v=Rv-b
e da equação de van der Waals
s(T,v)=s0+cvlnTT0+Rlnv-bv0,
Integrando:

onde e são constantes de referência.

Passo 3

Agora obtemos a energia interna molar du=T,ds-p,dv via
du=cv,dT+l(TRv-b-l(RTv-b-av^2r)r)dv =cv,dT+av^2,dv
Substituindo u(T,v)=cv,T-av+u0, e :
$$du=c_v,dT+\Bigl(T\frac{R}{v-b}-\bigl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\bigr)\Bigr)dv
=c_v,dT+\frac{a}{v^2},dv.u(T,v)=c_v,T-\frac{a}{v}+u_0,$$
com constante de integração.

Passo 4

Passamos pra energia livre de Helmholtz F(T,v)=l(cvT-av+u0r)-Tl[s0+cvlnTT0+Rlnv-bv0r]:
F=cvT-av-Ts0 -cv,TlnTT0-R,Tlnv-bv0+u0
Organizando:

Passo 5

Por fim, fazemos a transformação de Legendre
G(T,p)=F+p,v
e usamos G(T,v)=F(T,v)+RT,vv-b-av, , ou seja
G(T,v)=cvT-av-Ts0 -cvTlnTT0-R,Tlnv-bv0 +u0+RT,vv-b-av
Substituindo :
Se quiser simplificar, basta agrupar termos constantes e termos em .

Resposta

A energia livre de Gibbs molar de um gás de van der Waals, até constantes de referência, pode ser escrita como
boxed G(T,v)=cv,T -Ts0 -cv,TlnTT0 ;-;R,Tlnv-bv0 ;+;R,T,v,v-b, ;-;2av ,
Aqui e aparecem como constantes de referência que fixam o ponto zero de entropia e energia.

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