A partir das equações que modelam o comportamento de gas ideal envolvendo um processo politropico:
Deduza as expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece duas equações que valem para um gás ideal e para um processo politrópico, e pede expressões que relacionem as pressões e volumes entre dois estados (1 e 2). Informações dadas:
Perguntas pedidas (o que devemos deduzir):
Observações que vamos usar (implícitas nas equações): a massa
, a constante dos gases
, o expoente politrópico
e a constante
são constantes do processo; os índices 1 e 2 indicam os dois estados distintos do gás.
Passo 2
Escrevemos a relação politrópica aplicada aos dois estados 1 e 2. Como
é constante no processo, temos:
Dessa igualdade segue a razão entre pressões:
Passo 3
Escrevemos a equação dos gases ideais para cada estado (essas são as mesmas equações aplicadas em 1 e 2):
Essas equações ligam
,
e
em cada estado.
Passo 4
A partir das duas equações dos gases ideais, podemos formar a razão entre os volumes
e
. Dividindo a primeira pela segunda:
Expliquei: ao dividir,
cancela, sobrando a relação acima.
Passo 5
Agora substituímos a expressão de
obtida no Passo 4 na relação do Passo 2. Começamos com
substituindo
obtemos
Para facilitar a álgebra, chame
. A igualdade vira
Passo 6
Resolver para
. Da igualdade
segue
Para isolar
elevamos ambos os lados à potência
(ou tomamos potências e manipulamos sinais):
Como
, podemos inverter a base para eliminar o sinal negativo no expoente:
Voltando à notação original,
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a expressão desejada para
:
Passo 7
Agora obtemos
. Partimos da relação do Passo 4:
Invertemos os dois lados para ter
:
Substituímos
encontrada no Passo 6. Como
segue que
Logo
Agora simplificamos os expoentes: multiplicar por
é o mesmo que subtrair 1 no expoente da fração
. Assim
Multiplicando por
obtemos