A partir das equações que modelam o comportamento de gas ideal envolvendo um processo politropico:
\mathrm{PV}=\mathrm{mRT}, \mathrm{PV}^{\wedge} \mathrm{n}=\mathrm{k}
Deduza as expressões abaixo:
\mathrm{P} 2=\mathrm{P} 1(\mathrm{~T} 2 / \mathrm{T} 1)^{\wedge}(\mathrm{n} /(\mathrm{n}-1)), \mathrm{V} 2=\mathrm{V} 1(\mathrm{~T} 1 / \mathrm{T} 2)^{\wedge}(1 /(\mathrm{n}-1))

Passo 1

O enunciado fornece duas equações que valem para um gás ideal e para um processo politrópico, e pede expressões que relacionem as pressões e volumes entre dois estados (1 e 2). Informações dadas:
PV = m R T
P V^{n} = k
Perguntas pedidas (o que devemos deduzir):
P_2 = ? \quad\text{em função de }P_1,\;T_1,\;T_2,\;nçã
V_2 = ? \quad\text{em função de }V_1,\;T_1,\;T_2,\;nçã
Observações que vamos usar (implícitas nas equações): a massa m, a constante dos gases R, o expoente politrópico n e a constante k são constantes do processo; os índices 1 e 2 indicam os dois estados distintos do gás.

Passo 2

Escrevemos a relação politrópica aplicada aos dois estados 1 e 2. Como P V^{n}=k é constante no processo, temos:
P_1 V_1^{n} = k = P_2 V_2^{n}
Dessa igualdade segue a razão entre pressões:
\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n}

Passo 3

Escrevemos a equação dos gases ideais para cada estado (essas são as mesmas equações aplicadas em 1 e 2):
P_1 V_1 = m R T_1
P_2 V_2 = m R T_2
Essas equações ligam P, V e T em cada estado.

Passo 4

A partir das duas equações dos gases ideais, podemos formar a razão entre os volumes V_1 e V_2. Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2} = \frac{m R T_1}{m R T_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_1}{V_2} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}
Expliquei: ao dividir, mR cancela, sobrando a relação acima.

Passo 5

Agora substituímos a expressão de \dfrac{V_1}{V_2} obtida no Passo 4 na relação do Passo 2. Começamos com
\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n}
substituindo \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{P_2}{P_1}\dfrac{T_1}{T_2} obtemos
\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.
Para facilitar a álgebra, chame x=\dfrac{P_2}{P_1}. A igualdade vira
x = \left(x\cdot\frac{T_1}{T_2}\right)^{n} = x^{n}\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.

Passo 6

Resolver para x. Da igualdade x = x^{n}\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{n} segue
x^{1-n} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{n}.
Para isolar x elevamos ambos os lados à potência \dfrac{1}{1-n} (ou tomamos potências e manipulamos sinais):
x = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n}{1-n}}.
Como \dfrac{n}{1-n} = -\dfrac{n}{n-1}, podemos inverter a base para eliminar o sinal negativo no expoente:
x = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}}.
Voltando à notação original,
\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}}.
Multiplicando ambos os lados por P_1 obtemos a expressão desejada para P_2:
P_2 = P_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}}.

Passo 7

Agora obtemos V_2. Partimos da relação do Passo 4:
\frac{V_1}{V_2} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.
Invertemos os dois lados para ter \dfrac{V_2}{V_1}:
\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
Substituímos \dfrac{P_2}{P_1} encontrada no Passo 6. Como
\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{n}{n-1}},
segue que
\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\frac{n}{n-1}} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n}{n-1}}.
Logo
\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n}{n-1}}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
Agora simplificamos os expoentes: multiplicar por \dfrac{T_2}{T_1} é o mesmo que subtrair 1 no expoente da fração \dfrac{T_1}{T_2}. Assim
\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n}{n-1}-1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{n-(n-1)}{n-1}} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{n-1}}.
Multiplicando por V_1 obtemos
V_2 = V_1\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{n-1}}.

Resposta

P_2 = P_1\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{\dfrac{n}{\,n-1\,}}
V_2 = V_1\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{\dfrac{1}{\,n-1\,}}

Exercícios relacionados