Dois tanques isolados são conectados por uma válvula. Um dos tanques contém inicialmente 0,5 \mathrm{~kg} de ar a 80^{\circ} \mathrm{C}, 100 \mathrm{Kpa}, e outro contém 1 kg de ar a 50^{\circ} \mathrm{C}, 200 \mathrm{kPa}. A válvula é aberta, permitindo que as duas quantidades de ar se misturem até que o equipamento seja atingido. Utilizando o modelo de gás ideal, determine.
a) temperatura final em { }^{\circ} \mathrm{C}
B) a pressão final en kPa
C) a quantidade de entropia gerada em kj/k

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a temperatura final em graus Celsius;
  • (b) a pressão final em kPa;
  • (c) a quantidade de entropia gerada em kJ/K.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa no tanque 1: \,m_1=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial no tanque 1: \,T_1=80^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial no tanque 1: \,p_1=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa no tanque 2: \,m_2=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial no tanque 2: \,T_2=50^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial no tanque 2: \,p_2=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Os tanques são isolados (adiabáticos) e se comunican por uma válvula; portanto não há troca de calor com o ambiente, nem troca de massa para fora do conjunto. O ar será tratado como gás ideal.
Observação: vou converter temperaturas para Kelvin quando necessário (soma de 273,15). Não há volumes dados, mas como temos massas, pressões e temperaturas, podemos usar a equação do gás ideal para obter os volumes iniciais e o volume total fixo. Vou também usar propriedades médias do ar (valores usuais para cálculo aproximado):
  • \,c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • \,c_v=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • \,R=c_p-c_v=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Primeiro passo físico e ensino rápido das fórmulas que vamos usar (sem pular etapas):
  1. Equação do gás ideal para cada tanque (estado inicial):
pV = m R T.
Aqui p é a pressão (kPa), V é o volume (m³), m é a massa (kg), R é a constante específica do gás (kJ/kg·K) e T é a temperatura absoluta (K). Esta equação relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal.
  1. Energia interna do gás ideal (por unidade de massa):
u = c_v T.
Para gás ideal u depende só de T. A energia interna total de cada tanque é m u = m c_v T.
  1. Balanço de energia do sistema isolado (primeira lei, sem trabalho de fronteira nem calor trocado com o ambiente): a energia interna total permanece constante:
m_1 c_v T_1 + m_2 c_v T_2 = (m_1+m_2) c_v T_f.
Como c_v é constante e igual para ambas as porções de ar, ele cancela, e obtemos:
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1+m_2}.
Essa fórmula diz que, em mistura adiabática e sem trabalho, a temperatura final é a média ponderada pelas massas quando c_v é constante.
  1. Cálculo da pressão final: o volume total é fixo (soma dos volumes iniciais). Usamos a equação do gás ideal para o estado final:
p_f = \frac{(m_1+m_2) R T_f}{V_1+V_2},
com
V_i=\frac{m_i R T_i}{p_i}\quad (i=1,2).
Note que o R aparece tanto no numerador quanto em V_i e acaba cancelando numa forma alternativa:
p_f = \frac{(m_1+m_2) T_f}{\dfrac{m_1 T_1}{p_1}+\dfrac{m_2 T_2}{p_2}}.
Essa forma é prática porque elimina R.
  1. Entropia: para um gás ideal com c_p e R constantes, a variação de entropia por unidade de massa ao ir de (T_i,p_i) para (T_f,p_f) é
\Delta s = c_p \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_f}{p_i}\right).
Derivação rápida: parte de ds = c_p\, dT/T - R\, dp/p (resulta de ds = c_v dT/T + R dv/v usando dv/v = dT/T - dp/p). Essa fórmula nos permite calcular a entropia final menos a inicial para cada massa. A entropia total gerada no processo é
\Delta S_{ger} = m_1 \Delta s_1 + m_2 \Delta s_2,
pois o sistema total está isolado (não há fluxo de entropia com o ambiente).

Passo 3

Converter temperaturas iniciais para Kelvin (sempre faça isso antes de aplicar fórmulas que usam T em Kelvin):
T_1 = 80^\circ\mathrm{C} = 80 + 273{,}15 = 353{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 50^\circ\mathrm{C} = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a temperatura final usando a média ponderada por massa (energia interna conservada e c_v constante):
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1+m_2} = \frac{0{,}5\cdot 353{,}15 + 1{,}0\cdot 323{,}15}{0{,}5+1{,}0}.
Fazendo as contas passo a passo:
0{,}5\cdot 353{,}15 = 176{,}575,
1{,}0\cdot 323{,}15 = 323{,}15,
\text{soma} = 176{,}575 + 323{,}15 = 499{,}725.
Dividindo por 1{,}5:
T_f = \frac{499{,}725}{1{,}5} = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_f = 333{,}15 - 273{,}15 = 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular os volumes iniciais usando a equação do gás ideal para cada tanque:
V_1 = \frac{m_1 R T_1}{p_1} = \frac{0{,}5\cdot 0{,}287\cdot 353{,}15}{100},
V_2 = \frac{m_2 R T_2}{p_2} = \frac{1{,}0\cdot 0{,}287\cdot 323{,}15}{200}.
(As unidades: R em kJ/(kg·K) e p em kPa mantêm a consistência para volume em m³ se usássemos fatores de conversão; porém para obter pressão final não precisamos calcular explicitamente V_1 e V_2 se preferirmos usar a forma que elimina R. Vou seguir a forma que elimina R porque é mais direta e evita confusão de unidades.)

Passo 6

Calcular a pressão final usando a fórmula que elimina R:
p_f = \frac{(m_1+m_2) T_f}{\dfrac{m_1 T_1}{p_1}+\dfrac{m_2 T_2}{p_2}}.
Substituindo valores:
\dfrac{m_1 T_1}{p_1} = \dfrac{0{,}5\cdot 353{,}15}{100} = \dfrac{176{,}575}{100} = 1{,}76575,
\dfrac{m_2 T_2}{p_2} = \dfrac{1{,}0\cdot 323{,}15}{200} = \dfrac{323{,}15}{200} = 1{,}61575.
Somando:
\dfrac{m_1 T_1}{p_1}+\dfrac{m_2 T_2}{p_2} = 1{,}76575 + 1{,}61575 = 3{,}38150.
Agora o numerador:
(m_1+m_2) T_f = 1{,}5\cdot 333{,}15 = 499{,}725.
Portanto
p_f = \frac{499{,}725}{3{,}38150} \approx 147{,}78\\ \mathrm{kPa}.
(Arredondei para três algarismos significativos após a vírgula.)

Passo 7

Calcular a entropia gerada. Para cada porção de ar, usamos
\Delta s_i = c_p \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_f}{p_i}\right),\qquad i=1,2,
e a variação total de entropia do sistema é
\Delta S = m_1 \Delta s_1 + m_2 \Delta s_2.
Calculemos para i=1 (tanque 1):
\frac{T_f}{T_1} = \frac{333{,}15}{353{,}15} \approx 0{,}94336,\quad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_1}\right) \approx -0{,}05841.
\ln\!\left(\frac{p_f}{p_1}\right) = \ln\!\left(\frac{147{,}78}{100}\right) = \ln(1{,}4778) \approx 0{,}39094.
Agora
\Delta s_1 = 1{,}005\cdot(-0{,}05841) - 0{,}287\cdot(0{,}39094).
Calcule os termos:
1{,}005\cdot(-0{,}05841) \approx -0{,}05870,
0{,}287\cdot 0{,}39094 \approx 0{,}11214.
Logo
\Delta s_1 \approx -0{,}05870 - 0{,}11214 = -0{,}17084\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Multiplicando por m_1:
m_1\Delta s_1 = 0{,}5\cdot (-0{,}17084) = -0{,}08542\\ \mathrm{kJ/K}.
Agora para i=2 (tanque 2):
\frac{T_f}{T_2} = \frac{333{,}15}{323{,}15} \approx 1{,}03094,\quad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_2}\right) \approx 0{,}03048.
\ln\!\left(\frac{p_f}{p_2}\right) = \ln\!\left(\frac{147{,}78}{200}\right) = \ln(0{,}7389) \approx -0{,}30255.
Agora
\Delta s_2 = 1{,}005\cdot 0{,}03048 - 0{,}287\cdot(-0{,}30255).
Calcule os termos:
1{,}005\cdot 0{,}03048 \approx 0{,}03063,
0{,}287\cdot(-0{,}30255) \approx -0{,}08640,\quad\text{portanto } -R\ln(p_f/p_2)=+0{,}08640.
Logo
\Delta s_2 \approx 0{,}03063 + 0{,}08640 = 0{,}11703\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Multiplicando por m_2:
m_2\Delta s_2 = 1{,}0\cdot 0{,}11703 = 0{,}11703\\ \mathrm{kJ/K}.
Somando as contribuições:
\Delta S = m_1\Delta s_1 + m_2\Delta s_2 = -0{,}08542 + 0{,}11703 = 0{,}03161\\ \mathrm{kJ/K}.
(Arredondei mantendo consistência com as contagens anteriores; valor positivo, conforme esperado para um processo irreversível de mistura.)

Passo 8

Interpretação e checagem rápida (motivacional): o resultado faz sentido fisicamente. A temperatura final é uma média ponderada de 60^\circ\mathrm{C}. A pressão final ficou entre as pressões iniciais (100 e 200 kPa) e mais próxima de 150 kPa — aqui 147{,}8\\ \mathrm{kPa}. A entropia total aumentou um pouco ( 0{,}0316\\ \mathrm{kJ/K}), indicando irreversibilidade (mistura entre dois compartimentos inicialmente em diferentes estados).

Resposta

(a) 60^\circ\mathrm{C}
(b) 147{,}8\\ \mathrm{kPa}
(c) 0{,}0316\\ \mathrm{kJ/K}

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