Dois tanques isolados são conectados por uma válvula. Um dos tanques contém inicialmente
de ar a
, e outro contém 1 kg de ar a
. A válvula é aberta, permitindo que as duas quantidades de ar se misturem até que o equipamento seja atingido. Utilizando o modelo de gás ideal, determine.
a) temperatura final em
B) a pressão final en kPa
C) a quantidade de entropia gerada em kj/k
a) temperatura final em
B) a pressão final en kPa
C) a quantidade de entropia gerada em kj/k
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) a temperatura final em graus Celsius;
- (b) a pressão final em kPa;
- (c) a quantidade de entropia gerada em kJ/K.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Massa no tanque 1:
. - Temperatura inicial no tanque 1:
. - Pressão inicial no tanque 1:
. - Massa no tanque 2:
. - Temperatura inicial no tanque 2:
. - Pressão inicial no tanque 2:
. - Os tanques são isolados (adiabáticos) e se comunican por uma válvula; portanto não há troca de calor com o ambiente, nem troca de massa para fora do conjunto. O ar será tratado como gás ideal.
Observação: vou converter temperaturas para Kelvin quando necessário (soma de
). Não há volumes dados, mas como temos massas, pressões e temperaturas, podemos usar a equação do gás ideal para obter os volumes iniciais e o volume total fixo. Vou também usar propriedades médias do ar (valores usuais para cálculo aproximado):
-
, -
, -
.
Passo 2
Primeiro passo físico e ensino rápido das fórmulas que vamos usar (sem pular etapas):
- Equação do gás ideal para cada tanque (estado inicial):
Aqui
é a pressão (kPa),
é o volume (m³),
é a massa (kg),
é a constante específica do gás (kJ/kg·K) e
é a temperatura absoluta (K). Esta equação relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal.
- Energia interna do gás ideal (por unidade de massa):
Para gás ideal
depende só de
. A energia interna total de cada tanque é
.
- Balanço de energia do sistema isolado (primeira lei, sem trabalho de fronteira nem calor trocado com o ambiente): a energia interna total permanece constante:
Como
é constante e igual para ambas as porções de ar, ele cancela, e obtemos:
Essa fórmula diz que, em mistura adiabática e sem trabalho, a temperatura final é a média ponderada pelas massas quando
é constante.
- Cálculo da pressão final: o volume total é fixo (soma dos volumes iniciais). Usamos a equação do gás ideal para o estado final:
com
Note que o
aparece tanto no numerador quanto em
e acaba cancelando numa forma alternativa:
Essa forma é prática porque elimina
.
- Entropia: para um gás ideal com
e constantes, a variação de entropia por unidade de massa ao ir de para é
Derivação rápida: parte de
(resulta de
usando
). Essa fórmula nos permite calcular a entropia final menos a inicial para cada massa. A entropia total gerada no processo é
pois o sistema total está isolado (não há fluxo de entropia com o ambiente).
Passo 3
Converter temperaturas iniciais para Kelvin (sempre faça isso antes de aplicar fórmulas que usam
em Kelvin):
Passo 4
Calcular a temperatura final usando a média ponderada por massa (energia interna conservada e
constante):
Fazendo as contas passo a passo:
Dividindo por
:
Converter para graus Celsius:
Passo 5
Calcular os volumes iniciais usando a equação do gás ideal para cada tanque:
(As unidades:
em kJ/(kg·K) e
em kPa mantêm a consistência para volume em m³ se usássemos fatores de conversão; porém para obter pressão final não precisamos calcular explicitamente
e
se preferirmos usar a forma que elimina
. Vou seguir a forma que elimina
porque é mais direta e evita confusão de unidades.)
Passo 6
Calcular a pressão final usando a fórmula que elimina
:
Substituindo valores:
Somando:
Agora o numerador:
Portanto
(Arredondei para três algarismos significativos após a vírgula.)
Passo 7
Calcular a entropia gerada. Para cada porção de ar, usamos
e a variação total de entropia do sistema é
Calculemos para
(tanque 1):
Agora
Calcule os termos:
Logo
Multiplicando por
:
Agora para
(tanque 2):
Agora
Calcule os termos:
Logo
Multiplicando por
:
Somando as contribuições:
(Arredondei mantendo consistência com as contagens anteriores; valor positivo, conforme esperado para um processo irreversível de mistura.)
Passo 8
Interpretação e checagem rápida (motivacional): o resultado faz sentido fisicamente. A temperatura final é uma média ponderada de
. A pressão final ficou entre as pressões iniciais (100 e 200 kPa) e mais próxima de 150 kPa — aqui
. A entropia total aumentou um pouco (
), indicando irreversibilidade (mistura entre dois compartimentos inicialmente em diferentes estados).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)