A partir do resultado no item (a), mostre que, para um gás ideal com
constante, uma expansão isentrópica do estado 1 até o estado 2 conduz à Equação (2.92).
Passo 1
O enunciado pede que, partindo do resultado do item (a), eu mostre que uma expansão isentrópica do estado 1 até o estado 2 para um gás ideal com
constante conduz à Equação (2.92).
Informações relevantes que o enunciado (e o item (a)) nos dão e que vou usar explicitamente:
Informações relevantes que o enunciado (e o item (a)) nos dão e que vou usar explicitamente:
- O processo é isentrópico, ou seja, a variação de entropia é
ao passar do estado 1 para o estado 2. - Do item (a) tomamos a expressão diferencial da entropia para um gás ideal (com
constante), que é
- Relações termodinâmicas úteis que usarei: a equação de estado do gás ideal
e a definição da razão de calor específico
com a relação entre as capacidades caloríficas e a constante dos gases
Passo 2
Começo aplicando a condição isentrópica
na expressão do item (a). Substituo
em
obtendo a equação diferencial que relaciona
e
durante o processo isentrópico:
Passo 3
Rearranjo a equação obtida para separar as variáveis
e
. Somando
aos dois lados e dividindo por
dá:
Aqui cada termo tem um significado claro:
é a variação relativa de temperatura e
a variação relativa de pressão;
é uma constante para gás com
constante.
Passo 4
Faço a integração entre os estados 1 e 2. Integro ambos os lados da equação do passo anterior desde o estado 1 até o estado 2:
As integrais são logaritmos naturais, portanto obtenho
Passo 5
Exponenciando ambos os lados para livrar-me dos logaritmos:
Agora uso a relação entre
,
e
. Como
e
, segue-se que
Substituindo esse valor em
obtemos a forma familiar
Passo 6
Agora mostro a forma
constante, que é a outra expressão usual para um processo isentrópico. Parto da equação de estado do gás ideal
Da relação obtida no passo anterior temos
. Substituo isso em
:
Assim
, o que implica
e, finalmente,
Passo 7
Mostro também a forma envolvendo
e
. Usando
const e
obtemos, substituindo
const
em
,
Portanto as três formas equivalentes para o processo isentrópico de um gás ideal (com
constante) são obtidas e são consistentes entre si: