A partir do resultado no item (a), mostre que, para um gás ideal com c_{P} constante, uma expansão isentrópica do estado 1 até o estado 2 conduz à Equação (2.92).

Passo 1

O enunciado pede que, partindo do resultado do item (a), eu mostre que uma expansão isentrópica do estado 1 até o estado 2 para um gás ideal com c_{P} constante conduz à Equação (2.92).
Informações relevantes que o enunciado (e o item (a)) nos dão e que vou usar explicitamente:
  • O processo é isentrópico, ou seja, a variação de entropia é ds=0 ao passar do estado 1 para o estado 2.
  • Do item (a) tomamos a expressão diferencial da entropia para um gás ideal (com c_{P} constante), que é
ds=\frac{c_{P}}{T}\,dT-\frac{R}{p}\,dp.
  • Relações termodinâmicas úteis que usarei: a equação de estado do gás ideal
pV=RT,
e a definição da razão de calor específico
\gamma=\frac{c_{P}}{c_{V}},
com a relação entre as capacidades caloríficas e a constante dos gases
R=c_{P}-c_{V}.

Passo 2

Começo aplicando a condição isentrópica ds=0 na expressão do item (a). Substituo ds=0 em
ds=\frac{c_{P}}{T}\,dT-\frac{R}{p}\,dp,
obtendo a equação diferencial que relaciona dT e dp durante o processo isentrópico:
0=\frac{c_{P}}{T}\,dT-\frac{R}{p}\,dp.

Passo 3

Rearranjo a equação obtida para separar as variáveis T e p. Somando \dfrac{R}{p}\,dp aos dois lados e dividindo por c_{P} dá:
\frac{c_{P}}{T}\,dT=\frac{R}{p}\,dp \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dT}{T}=\frac{R}{c_{P}}\,\frac{dp}{p}.
Aqui cada termo tem um significado claro: \dfrac{dT}{T} é a variação relativa de temperatura e \dfrac{dp}{p} a variação relativa de pressão; \dfrac{R}{c_{P}} é uma constante para gás com c_{P} constante.

Passo 4

Faço a integração entre os estados 1 e 2. Integro ambos os lados da equação do passo anterior desde o estado 1 até o estado 2:
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dT}{T}=\frac{R}{c_{P}}\int_{p_{1}}^{p_{2}}\frac{dp}{p}.
As integrais são logaritmos naturais, portanto obtenho
\ln\!\bigg(\frac{T_{2}}{T_{1}}\bigg)=\frac{R}{c_{P}}\ln\!\bigg(\frac{p_{2}}{p_{1}}\bigg).

Passo 5

Exponenciando ambos os lados para livrar-me dos logaritmos:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\bigg(\frac{p_{2}}{p_{1}}\bigg)^{\!R/c_{P}}.
Agora uso a relação entre R, c_{P} e \gamma. Como R=c_{P}-c_{V} e \gamma=c_{P}/c_{V}, segue-se que
\frac{R}{c_{P}}=1-\frac{c_{V}}{c_{P}}=1-\frac{1}{\gamma}=\frac{\gamma-1}{\gamma}.
Substituindo esse valor em R/c_{P} obtemos a forma familiar
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\bigg(\frac{p_{2}}{p_{1}}\bigg)^{\!(\gamma-1)/\gamma}.

Passo 6

Agora mostro a forma pV^{\gamma}= constante, que é a outra expressão usual para um processo isentrópico. Parto da equação de estado do gás ideal
pV=RT.
Da relação obtida no passo anterior temos T\propto p^{(\gamma-1)/\gamma}. Substituo isso em V=RT/p:
V=\frac{R T}{p}\propto\frac{p^{(\gamma-1)/\gamma}}{p}=p^{(\gamma-1)/\gamma-1}=p^{-1/\gamma}.
Assim V\propto p^{-1/\gamma}, o que implica p\propto V^{-\gamma} e, finalmente,
pV^{\gamma}=\text{const}.

Passo 7

Mostro também a forma envolvendo T e V. Usando pV^{\gamma}= const e pV=RT obtemos, substituindo p= const \times V^{-\gamma} em pV=RT,
RT=\text{const}\times V^{1-\gamma}\quad\Rightarrow\quad T V^{\gamma-1}=\text{const}.
Portanto as três formas equivalentes para o processo isentrópico de um gás ideal (com c_{P} constante) são obtidas e são consistentes entre si:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\bigg(\frac{p_{2}}{p_{1}}\bigg)^{\!(\gamma-1)/\gamma},\qquad p_{1}V_{1}^{\gamma}=p_{2}V_{2}^{\gamma},\qquad T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{2}^{\gamma-1}.

Resposta

\frac{T_{2}}{T_{1}}=\bigg(\frac{p_{2}}{p_{1}}\bigg)^{\!(\gamma-1)/\gamma}
p_{1}V_{1}^{\gamma}=p_{2}V_{2}^{\gamma}
T_{1}V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}V_{2}^{\gamma-1}

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