5.16 Propano, a
e
, se expande isentropicamente em uma turbina. A pressão de saída é a atmosférica. Qual é a temperatura de saída?
comportamento
foi ajustado à equação de van der Waals com
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura de saída do propano após uma expansão isentrópica numa turbina:
- Temperatura inicial:
- Volume molar inicial:
- Pressão de saída:
(atmosférica). - A equação de estado é a de van der Waals, com constantes:
- Precisamos encontrar a temperatura final
após a expansão isentrópica.
Observações importantes retiradas do enunciado: os dados de
e
estão em unidades compatíveis com pressão em
e volumes em
. A resolução abaixo usará essas unidades (logo usaremos
em
).
Passo 2
Princípio usado (explicação didática passo a passo):
Para um processo isentrópico reversível (adiabático e reversível), a entropia molar
é constante:
. A diferencial exata da entropia num sistema simples (variando
e
) pode ser escrita como (fórmula fundamental da termodinâmica):
Aqui:
-
é a capacidade calorífica molar a volume constante (assumida aproximadamente constante ao longo do processo; explicarei a escolha num passo seguinte). -
é a derivada do lado direito da equação de estado em relação a mantendo constante.
Como
(isentropia), obtemos:
Rearranjando e integrando entre os estados 1 e 2:
Como
será tratado como constante, a integral do lado esquerdo dá
. Portanto:
Essa é a relação geral que usamos para isentropas de um gás real quando conhecemos
.
Passo 3
Aplicando à equação de van der Waals:
A equação de van der Waals (por mol) é
onde:
-
é a constante universal dos gases na unidade consistente com e : -
e dados no enunciado.
Calcule a derivada necessária:
pois o termo
não depende de
.
Substituindo na fórmula do passo anterior:
Rearranjando para
:
Interpretação: para um gás van der Waals com
constante, a isentropa relaciona temperaturas e volumes molares via um expoente
. Isso é análogo à relação
constante para gases ideais, mas adaptado ao caso van der Waals (o deslocamento
aparece).
Passo 4
Equação final para resolver numericamente:
No estado 2 a equação de van der Waals deve ser satisfeita:
Substituindo
da isentropa obtemos uma equação apenas em
:
Agora precisamos dos números concretos e de um valor para
.
Escolha de
(explicação didática e justificativa):
-
é a capacidade calorífica molar a volume constante do propano. Em problemas desse tipo é comum aproximar por um valor médio constante (tabela ou polinômio de calor específico daria maior precisão). Vou usar um valor representativo de tabela para propano gasoso numa faixa térmica moderada: . (Isso corresponde a um cerca de , valor plausível para propano gasoso; se você tivesse a tabela do seu curso trocaria por esse valor exato.) - Como estamos usando
em unidades , convertemos para as mesmas unidades. Conversão: . Assim - O valor de
em unidades coerentes é - Portanto o expoente numérico é
Resumo das constantes numéricas usadas:
A equação para encontrar
fica (escrevo numericamente o fator constante):
É uma equação não-linear em
que resolvemos numericamente por iteração.
Passo 5
Resolução numérica (iteração com interpretação):
Estratégia prática: começar com uma estimativa grosseira para
pelo comportamento ideal (
) e iterar usando a equação completa. Vou mostrar algumas iterações até convergir razoavelmente, explicando cada etapa.
Estimativa inicial (gás ideal): supondo comportamento ideal final,
Agora iteramos usando as duas equações (isentropa e vdW) para obter consistência entre
e
.
Iteração 1:
- Usando
,
- Nova estimativa de
pelo vdW com esse :
Iteração 2:
- Com
,
- Pelo vdW, usando
, obtemos ligeiramente abaixo de , então atualizamos e repetimos.
Algumas iterações subsequentes (resumo dos valores convergentes):
-
varia entre e . - Os correspondentes
pela isentropa ficam em torno de – . - Evaluando o termo do potencial
vemos que ele é pequeno (da ordem de ) para esses volumes, então a contribuição não é dominante, mas precisa ser considerada para precisão.
Convergência numérica (detalhe rápido):
- Testando
dá e a equação de van der Waals com esse fornece muito próximo de (diferença residual ). Portanto os valores estão convergidos com precisão aceitável para um problema de prova.
Resultado numérico final (após iteração até consistência):
Conversão para graus Celsius:
Comentário didático final sobre sensibilidade: o resultado depende um pouco do valor assumido para
. Se você usar um
um pouco maior ou menor (valores tabelados), o
muda algumas dezenas de kelvins? Não, muda menos — o expoente
é pequeno (
), então o efeito de erro em
não é muito grande. Para prova, essa aproximação com
constante é aceitável e o procedimento (integrar ds=0 e combinar com a equação de estado) é o que o professor espera.