Refaça o Problema 2.1, considerando um recipiente isolado termicamente, que varie a sua temperatura juntamente com a água e possua uma capacidade calorífica equivalente a 5 kg de água. Resolva o problema de duas maneiras:
Considere somente a água como o sistema.

Passo 1

O enunciado original do “Problema 2.1” não foi enviado, portanto não há dados numéricos específicos (por exemplo, massa da água, temperaturas iniciais, etc.) para calcular um valor numérico final. Por isso não é possível dar um número final concreto.
Vou, então, (a) declarar claramente as quantidades necessárias que o problema precisaria fornecer, (b) formular a resolução de forma simbólica (expressão fechada para a temperatura final), e (c) mostrar duas maneiras de chegar à mesma expressão — sendo a primeira delas a que você pediu explicitamente: considerar somente a água como o sistema.
Dados necessários (se fossem fornecidos numericamente):
  • Massa da água: m_w (kg).
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i} (°C ou K).
  • Temperatura inicial do recipiente: T_{c,i} (°C ou K).
    Informação fornecida no enunciado que você deu:
  • O recipiente é termicamente isolado (não troca calor com o ambiente).
  • A capacidade calorífica do recipiente é equivalente a 5 kg de água. Vou denotar isso por m_c = 5\\ \text{kg} (equivalente em massa de água), de modo que a capacidade calorífica do recipiente é C_c = m_c c, onde c é o calor específico da água.
    Observações importantes que faço já para a prova:
  • Vou assumir que não há mudança de fase (a água permanece líquida) e que o calor específico c da água é constante no intervalo de temperatura.
  • Em cálculos de equilíbrio térmico, diferenças de temperatura em °C e em K são numericamente iguais, então pode-se usar qualquer uma dessas unidades para T desde que seja consistente.
O objetivo pedido (o que vamos calcular):
  • Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f após o contato térmico entre a água e o recipiente, usando duas abordagens. A primeira abordagem deve tratar somente a água como sistema (conforme solicitado). A segunda abordagem será tratar o conjunto água+recipiente como sistema isolado (método alternativo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, estilo “mastigado”):
  • Calor específico: o calor específico c é a quantidade de energia necessária para elevar 1 kg de uma substância em 1 K. Para a água líquida, um valor usual é c \approx 4186\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}, mas aqui manteremos c simbólico.
  • Variação de energia interna (ou calor trocado em processos sem trabalho de pressão/volume): para uma massa m de água que muda de temperatura de T_i para T_f,
\Delta U = m c (T_f - T_i).
Isto é a fórmula padrão que traduz “quanto calor foi recebido (positivo) ou perdido (negativo)”.
  • Sinal do calor: adotaremos a convenção usual de termodinâmica de que Q>0 quando o calor entra no sistema e Q<0 quando sai do sistema.
  • Como o recipiente foi dito “termicamente isolado”, o sistema total (água + recipiente) não troca calor com o ambiente. Portanto a energia interna total do conjunto é conservada: o calor perdido por um é ganho pelo outro.

Passo 3

Método 1 — considerar somente a água como o sistema (abordagem pedido). Montagem do balanço e explicação de cada passo:
  1. Identificar o sistema: a água é o sistema; o recipiente é parte do entorno (ambiente com o qual a água troca calor). Não há trabalho útil (não consideramos expansão significativa nem trabalho de superfície), então a primeira lei para o sistema água reduz-se a
\Delta U_{\text{água}} = Q_{\text{água}},áá
onde Q_{\text{água}}á é o calor recebido pela água do recipiente.
  1. Escrever \Delta U_{\text{água}}á em termos das temperaturas:
\Delta U_{\text{água}} = m_w c (T_f - T_{w,i}),á
onde m_w é a massa da água, c o calor específico da água, T_{w,i} a temperatura inicial da água e T_f a temperatura de equilíbrio.
  1. Relacionar Q_{\text{água}}á ao aquecimento do recipiente. O recipiente, por sua vez, ao variar sua temperatura de T_{c,i} para T_f, tem variação de energia
\Delta U_{\text{recipiente}} = C_c (T_f - T_{c,i}),
onde C_c é a capacidade térmica do recipiente. Pelo enunciado, a capacidade térmica do recipiente equivale a 5 kg de água, então podemos escrever C_c = m_c c com m_c = 5\\ \text{kg}. Observe que C_c tem dimensão de energia por temperatura (J/K).
  1. Como o recipiente é o entorno da água e o sistema total é isolado, o calor que sai de um entra no outro. Usando sinais:
Q_{\text{água}} = -\Delta U_{\text{recipiente}}.á
Explicando: se o recipiente perde energia (ΔU_rec < 0), a água ganha essa energia (Q_água > 0), e vice-versa.
  1. Juntando as equações:
m_w c (T_f - T_{w,i}) = -\,\bigl(m_c c (T_f - T_{c,i})\bigr).
  1. Simplificar — o c aparece em ambos os termos (assumindo mesmo calor específico equivalente), portanto pode ser cancelado:
m_w (T_f - T_{w,i}) = -m_c (T_f - T_{c,i}).
  1. Desenvolver e isolar T_f:
m_w T_f - m_w T_{w,i} = -m_c T_f + m_c T_{c,i}.
m_w T_f + m_c T_f = m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}.
T_f (m_w + m_c) = m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}.
Logo,
\boxed{\,T_f = \dfrac{m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}}{m_w + m_c}\,}
e lembrando que, pela informação dada, m_c = 5\\ \text{kg}.
  1. Interpretação física simples: a temperatura final é a média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas massas (ou pela capacidade térmica) da água e do recipiente. Faz sentido intuitivamente: se o recipiente é pesado termicamente (aqui equivalente a 5 kg de água) ele “puxa” a temperatura final mais para sua temperatura inicial.

Passo 4

Observações didáticas para a prova (passo a passo prático para aplicar em questão numérica):
  • Passo A: identifique massas e temperaturas iniciais e anote m_w,\\ T_{w,i},\\ T_{c,i}.
  • Passo B: coloque m_c=5\\ \text{kg} (informação do enunciado).
  • Passo C: use a fórmula
T_f = \dfrac{m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}}{m_w + m_c}
  • Passo D: plugue números — usar °C ou K é indiferente enquanto só apareçam diferenças de temperatura; mas ao reportar a temperatura final mantenha a mesma unidade.
  • Passo E: verifique hipóteses: não houve mudança de fase, c aproximadamente constante e isolamento térmico realista.

Passo 5

Método 2 — tratar o conjunto água + recipiente como sistema isolado (abordagem alternativa, mostra conservação de energia do sistema total):
  1. Identificar sistema: agora o sistema é o conjunto formado pela água + recipiente, que foi dito isolado termicamente (não troca calor com o exterior). Para esse sistema isolado, a primeira lei dá
\Delta U_{\text{total}} = 0,
pois não há troca de calor com o exterior nem trabalho externo.
  1. Escrever a variação de energia total como soma das variações individuais:
\Delta U_{\text{total}} = \Delta U_{\text{água}} + \Delta U_{\text{recipiente}} = 0.á
  1. Substituir as expressões:
m_w c (T_f - T_{w,i}) + m_c c (T_f - T_{c,i}) = 0.
  1. Cancelar c (assumindo calor específico equivalente):
m_w (T_f - T_{w,i}) + m_c (T_f - T_{c,i}) = 0.
  1. Resolver para T_f, exatamente como no método anterior:
T_f (m_w + m_c) = m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i},
\boxed{\,T_f = \dfrac{m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}}{m_w + m_c}\,}
com m_c = 5\\ \text{kg}.
  1. Comentário: os dois métodos são matematicamente equivalentes — o primeiro foca na equação de energia do sistema água e usa o entorno para expressar o calor; o segundo aplica imediatamente conservação de energia ao conjunto isolado. Em prova, escolher o método que achar mais confortável; ambos são corretos e levam à mesma fórmula.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar; não parte da resposta final pois o enunciado original não deu números):
Suponha por exemplo m_w=2{,}0\\ \text{kg}, T_{w,i}=80{,}0^\circ\text{C} e T_{c,i}=20{,}0^\circ\text{C}. Com m_c=5{,}0\\ \text{kg},
T_f = \dfrac{2{,}0\cdot80{,}0 + 5{,}0\cdot20{,}0}{2{,}0 + 5{,}0} = \dfrac{160 + 100}{7} = \dfrac{260}{7}\approx 37{,}14^\circ\text{C}.
Isto é só um exemplo para ver como aplicar a fórmula rapidamente na prova.

Passo 7

Dicas finais e encorajamento:
  • Se na prova der números, aplique diretamente a fórmula do passo 3/5 e verifique unidades.
  • Se o recipiente tivesse capacidade equivalente a outro valor, substitua m_c por esse valor; se o recipiente tivesse calor específico diferente (material metálico), use C_c explícito em J/K em vez de transformar em “kg de água”.
  • Calma — respire fundo. Esse tipo de exercício é repetitivo: identificar sistema, escrever balanço de energia, substituir e isolar T_f. Você consegue!

Resposta

Método 1 (água como sistema): T_f = \dfrac{m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}}{m_w + m_c}
com m_c = 5\\ \text{kg}.
Método 2 (sistema água+recipiente isolado): T_f = \dfrac{m_w T_{w,i} + m_c T_{c,i}}{m_w + m_c}
com m_c = 5\\ \text{kg}.

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