Refaça o Problema 2.1, considerando um recipiente isolado termicamente, que varie a sua temperatura juntamente com a água e possua uma capacidade calorífica equivalente a 5 kg de água. Resolva o problema de duas maneiras:
Considere somente a água como o sistema.
Considere somente a água como o sistema.
Passo 1
O enunciado original do “Problema 2.1” não foi enviado, portanto não há dados numéricos específicos (por exemplo, massa da água, temperaturas iniciais, etc.) para calcular um valor numérico final. Por isso não é possível dar um número final concreto.
Vou, então, (a) declarar claramente as quantidades necessárias que o problema precisaria fornecer, (b) formular a resolução de forma simbólica (expressão fechada para a temperatura final), e (c) mostrar duas maneiras de chegar à mesma expressão — sendo a primeira delas a que você pediu explicitamente: considerar somente a água como o sistema.
Vou, então, (a) declarar claramente as quantidades necessárias que o problema precisaria fornecer, (b) formular a resolução de forma simbólica (expressão fechada para a temperatura final), e (c) mostrar duas maneiras de chegar à mesma expressão — sendo a primeira delas a que você pediu explicitamente: considerar somente a água como o sistema.
Dados necessários (se fossem fornecidos numericamente):
- Massa da água:
(kg). - Temperatura inicial da água:
(°C ou K). - Temperatura inicial do recipiente:
(°C ou K).
Informação fornecida no enunciado que você deu: - O recipiente é termicamente isolado (não troca calor com o ambiente).
- A capacidade calorífica do recipiente é equivalente a
kg de água. Vou denotar isso por (equivalente em massa de água), de modo que a capacidade calorífica do recipiente é , onde é o calor específico da água.
Observações importantes que faço já para a prova: - Vou assumir que não há mudança de fase (a água permanece líquida) e que o calor específico
da água é constante no intervalo de temperatura. - Em cálculos de equilíbrio térmico, diferenças de temperatura em °C e em K são numericamente iguais, então pode-se usar qualquer uma dessas unidades para
desde que seja consistente.
O objetivo pedido (o que vamos calcular):
- Determinar a temperatura final de equilíbrio
após o contato térmico entre a água e o recipiente, usando duas abordagens. A primeira abordagem deve tratar somente a água como sistema (conforme solicitado). A segunda abordagem será tratar o conjunto água+recipiente como sistema isolado (método alternativo).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida, estilo “mastigado”):
- Calor específico: o calor específico
é a quantidade de energia necessária para elevar 1 kg de uma substância em 1 K. Para a água líquida, um valor usual é , mas aqui manteremos simbólico. - Variação de energia interna (ou calor trocado em processos sem trabalho de pressão/volume): para uma massa
de água que muda de temperatura de para ,
Isto é a fórmula padrão que traduz “quanto calor foi recebido (positivo) ou perdido (negativo)”.
- Sinal do calor: adotaremos a convenção usual de termodinâmica de que
quando o calor entra no sistema e quando sai do sistema. - Como o recipiente foi dito “termicamente isolado”, o sistema total (água + recipiente) não troca calor com o ambiente. Portanto a energia interna total do conjunto é conservada: o calor perdido por um é ganho pelo outro.
Passo 3
Método 1 — considerar somente a água como o sistema (abordagem pedido). Montagem do balanço e explicação de cada passo:
- Identificar o sistema: a água é o sistema; o recipiente é parte do entorno (ambiente com o qual a água troca calor). Não há trabalho útil (não consideramos expansão significativa nem trabalho de superfície), então a primeira lei para o sistema água reduz-se a
onde
é o calor recebido pela água do recipiente.
- Escrever
em termos das temperaturas:
onde
é a massa da água,
o calor específico da água,
a temperatura inicial da água e
a temperatura de equilíbrio.
- Relacionar
ao aquecimento do recipiente. O recipiente, por sua vez, ao variar sua temperatura de para , tem variação de energia
onde
é a capacidade térmica do recipiente. Pelo enunciado, a capacidade térmica do recipiente equivale a 5 kg de água, então podemos escrever
com
. Observe que
tem dimensão de energia por temperatura (J/K).
- Como o recipiente é o entorno da água e o sistema total é isolado, o calor que sai de um entra no outro. Usando sinais:
Explicando: se o recipiente perde energia (ΔU_rec < 0), a água ganha essa energia (Q_água > 0), e vice-versa.
- Juntando as equações:
- Simplificar — o
aparece em ambos os termos (assumindo mesmo calor específico equivalente), portanto pode ser cancelado:
- Desenvolver e isolar
:
Logo,
e lembrando que, pela informação dada,
.
- Interpretação física simples: a temperatura final é a média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas massas (ou pela capacidade térmica) da água e do recipiente. Faz sentido intuitivamente: se o recipiente é pesado termicamente (aqui equivalente a 5 kg de água) ele “puxa” a temperatura final mais para sua temperatura inicial.
Passo 4
Observações didáticas para a prova (passo a passo prático para aplicar em questão numérica):
- Passo A: identifique massas e temperaturas iniciais e anote
. - Passo B: coloque
(informação do enunciado). - Passo C: use a fórmula
- Passo D: plugue números — usar °C ou K é indiferente enquanto só apareçam diferenças de temperatura; mas ao reportar a temperatura final mantenha a mesma unidade.
- Passo E: verifique hipóteses: não houve mudança de fase,
aproximadamente constante e isolamento térmico realista.
Passo 5
Método 2 — tratar o conjunto água + recipiente como sistema isolado (abordagem alternativa, mostra conservação de energia do sistema total):
- Identificar sistema: agora o sistema é o conjunto formado pela água + recipiente, que foi dito isolado termicamente (não troca calor com o exterior). Para esse sistema isolado, a primeira lei dá
pois não há troca de calor com o exterior nem trabalho externo.
- Escrever a variação de energia total como soma das variações individuais:
- Substituir as expressões:
- Cancelar
(assumindo calor específico equivalente):
- Resolver para
, exatamente como no método anterior:
com
.
- Comentário: os dois métodos são matematicamente equivalentes — o primeiro foca na equação de energia do sistema água e usa o entorno para expressar o calor; o segundo aplica imediatamente conservação de energia ao conjunto isolado. Em prova, escolher o método que achar mais confortável; ambos são corretos e levam à mesma fórmula.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar; não parte da resposta final pois o enunciado original não deu números):
Suponha por exemplo ,
e
. Com
,
Suponha por exemplo
Isto é só um exemplo para ver como aplicar a fórmula rapidamente na prova.
Passo 7
Dicas finais e encorajamento:
- Se na prova der números, aplique diretamente a fórmula do passo 3/5 e verifique unidades.
- Se o recipiente tivesse capacidade equivalente a outro valor, substitua
por esse valor; se o recipiente tivesse calor específico diferente (material metálico), use explícito em J/K em vez de transformar em “kg de água”. - Calma — respire fundo. Esse tipo de exercício é repetitivo: identificar sistema, escrever balanço de energia, substituir e isolar
. Você consegue!
Resposta
Método 1 (água como sistema):
com
.
Método 2 (sistema água+recipiente isolado):
com
.