PERGUNTA 4 (10 PONTOS)
Uma amostra de
de metano gasoso ocupa o volume de
a 320 K .
a) Calcule o trabalho feito (em joules) quando o gás se expande isotermicamente contra uma pressão externa constante de 37 kPa até o seu volume aumentar de
.
b) Calcule o trabalho (em joules) se a mesma expansão for realizada isotérmica e reversivelmente.
c) Trabalho é uma função de caminho ou de estado? Justifique a sua resposta.
a) Calcule o trabalho feito (em joules) quando o gás se expande isotermicamente contra uma pressão externa constante de 37 kPa até o seu volume aumentar de
b) Calcule o trabalho (em joules) se a mesma expansão for realizada isotérmica e reversivelmente.
c) Trabalho é uma função de caminho ou de estado? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de metano com massa
que, à temperatura
, ocupa volume
. O gás sofre uma expansão isotérmica tal que seu volume aumenta em
. São pedidas três coisas:
- (a) O trabalho feito (em joules) quando a expansão é feita isotermicamente contra uma pressão externa constante de
. - (b) O trabalho (em joules) quando a mesma expansão é feita isotérmica e reversivelmente.
- (c) Se o trabalho é função de caminho ou de estado, e justificativa.
Informações relevantes tiradas do enunciado e que usaremos: massa do metano
; temperatura
; volume inicial
(dado no enunciado); aumento de volume
(dado no enunciado), logo volume final
; pressão externa para (a)
. Também vamos precisar da massa molar do metano e da constante dos gases.
Passo 2
Converter unidades e calcular volumes numéricos que usaremos em SI.
Explicação rápida: em mecânica térmica e termodinâmica usamos o SI, logo pressão em pascal (
) e volume em metros cúbicos (
). Lembre-se que
e
.
Cálculos:
Passo 3
Calcular o número de mols de metano (
) a partir da massa.
Explicação da fórmula: o número de mols é dado por
, onde
é a massa da amostra e
é a massa molar (massa de 1 mol da substância). Para o metano (
) a massa molar aproximada é
(carbono
+
).
Cálculo:
Passo 4
Parte (a): trabalho para expansão contra pressão externa constante.
Teoria e fórmula: quando uma transformação ocorre contra uma pressão externa constante
, o trabalho realizado pelo sistema (convenção de química: trabalho feito pelo sistema no ambiente é negativo) é
onde
. Essa fórmula vem de
com
constante.
Aplicando os números:
Arredondando de acordo com os dados (normalmente 3 algarismos significativos), obtemos
Comentário físico curto: o sinal negativo indica que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (perdeu energia para o exterior).
Passo 5
Parte (b): trabalho para expansão isotérmica reversível.
Teoria e fórmula: para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho é dado por
onde
é o número de mols,
é a constante dos gases (
) e
é a temperatura absoluta (em
). Essa expressão vem de integrar
usando
(lei dos gases ideais) e lembrando que o processo reversível usa pressão interna do gás a cada passo.
Cálculo passo a passo:
Primeiro, a razão de volumes (note que podemos usar volumes em qualquer unidade consistente, aqui usamos dm^3 ou m^3; o quociente é adimensional):
Primeiro, a razão de volumes (note que podemos usar volumes em qualquer unidade consistente, aqui usamos dm^3 ou m^3; o quociente é adimensional):
Agora o logaritmo natural:
Agora aplicar a fórmula com
,
e
:
Arredondando:
Interpretação: o trabalho reversível (módulo) é maior do que o trabalho contra uma pressão externa fixa menor (ou maior) — aqui vemos que
, ou seja, o processo reversível extraiu mais trabalho do gás.
Passo 6
Comparação numérica e comentário sobre sinais: dos cálculos temos
Ambos são negativos (o gás realizou trabalho no ambiente). A diferença numérica mostra que o trabalho depende de como a expansão é feita (o caminho): processos diferentes entre os mesmos estados inicial e final dão trabalhos diferentes.
Passo 7
Parte (c): Trabalho — função de caminho ou de estado? Justificativa.
Resposta conceitual direta: o trabalho é uma função de caminho (não é função de estado).
Justificativa didática e usando o exemplo numérico: uma função de estado depende apenas do estado inicial e final do sistema; exemplos de funções de estado são energia interna
, entalpia
, entropia
(para estados bem definidos). Se o trabalho fosse uma função de estado, qualquer processo que leve o sistema do mesmo estado inicial ao mesmo estado final daria o mesmo valor de trabalho. No entanto, no exemplo deste exercício fizemos exatamente isso: mesma temperatura e mesmos volumes inicial e final, mas obtivemos dois valores distintos para o trabalho:
Como os valores são diferentes, o trabalho depende do caminho seguido (pressão externa fixa versus processo reversível). Portanto trabalho é função de caminho, não é função de estado.
Observação extra curta: para um gás ideal em transformação isotérmica, a energia interna
, então a quantidade de calor trocada
satisfaz
; mesmo assim
e
continuam dependendo do caminho.
Resposta
a)
b)
c) Trabalho é função de caminho (não é função de estado).
b)
c) Trabalho é função de caminho (não é função de estado).