PERGUNTA 4 (10 PONTOS)

Uma amostra de 4,50 \mathrm{~g} de metano gasoso ocupa o volume de 12,7 \mathrm{dm}^{3} a 320 K .
a) Calcule o trabalho feito (em joules) quando o gás se expande isotermicamente contra uma pressão externa constante de 37 kPa até o seu volume aumentar de 3,8 \mathrm{dm}^{3}.
b) Calcule o trabalho (em joules) se a mesma expansão for realizada isotérmica e reversivelmente.
c) Trabalho é uma função de caminho ou de estado? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de metano com massa 4,50\\ \mathrm{g} que, à temperatura 320\\ \mathrm{K}, ocupa volume 12,7\\ \mathrm{dm}^{3}. O gás sofre uma expansão isotérmica tal que seu volume aumenta em 3,8\\ \mathrm{dm}^{3}. São pedidas três coisas:
  1. (a) O trabalho feito (em joules) quando a expansão é feita isotermicamente contra uma pressão externa constante de 37\\ \mathrm{kPa}.
  2. (b) O trabalho (em joules) quando a mesma expansão é feita isotérmica e reversivelmente.
  3. (c) Se o trabalho é função de caminho ou de estado, e justificativa.
Informações relevantes tiradas do enunciado e que usaremos: massa do metano =4,50\\ \mathrm{g}; temperatura T=320\\ \mathrm{K}; volume inicial V_i=12,7\\ \mathrm{dm}^{3} (dado no enunciado); aumento de volume \Delta V=3,8\\ \mathrm{dm}^{3} (dado no enunciado), logo volume final V_f=V_i+\Delta V; pressão externa para (a) P_{\text{ext}}=37\\ \mathrm{kPa}. Também vamos precisar da massa molar do metano e da constante dos gases.

Passo 2

Converter unidades e calcular volumes numéricos que usaremos em SI.
Explicação rápida: em mecânica térmica e termodinâmica usamos o SI, logo pressão em pascal ( \mathrm{Pa}) e volume em metros cúbicos ( \mathrm{m}^{3}). Lembre-se que 1\\ \mathrm{dm}^{3}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} e 1\\ \mathrm{kPa}=10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Cálculos:
V_i = 12,7\\ \mathrm{dm}^{3} = 12{,}7\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} = 0{,}0127\\ \mathrm{m}^{3}.
\Delta V = 3,8\\ \mathrm{dm}^{3} = 3{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3} = 0{,}0038\\ \mathrm{m}^{3}.
V_f = V_i + \Delta V = 0{,}0127 + 0{,}0038 = 0{,}0165\\ \mathrm{m}^{3}.
P_{\text{ext}} = 37\\ \mathrm{kPa} = 37{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 37000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Calcular o número de mols de metano ( n) a partir da massa.
Explicação da fórmula: o número de mols é dado por n=\dfrac{m}{M}, onde m é a massa da amostra e M é a massa molar (massa de 1 mol da substância). Para o metano ( \mathrm{CH_4}) a massa molar aproximada é M=16{,}04\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} (carbono \approx12{,}011 + 4\times1{,}008).
Cálculo:
n=\dfrac{4{,}50\\ \mathrm{g}}{16{,}04\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}=0{,}2803\\ \mathrm{mol}\quad(\text{arredondado a 4 dígitos significativos }0{,}2803).í

Passo 4

Parte (a): trabalho para expansão contra pressão externa constante.
Teoria e fórmula: quando uma transformação ocorre contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}, o trabalho realizado pelo sistema (convenção de química: trabalho feito pelo sistema no ambiente é negativo) é
w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V,
onde \Delta V = V_f - V_i. Essa fórmula vem de w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV com P_{\text{ext}} constante.
Aplicando os números:
\Delta V = 0{,}0038\\ \mathrm{m}^{3},
w = -37000\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}0038\\ \mathrm{m}^{3} = -140{,}6\\ \mathrm{J}.
Arredondando de acordo com os dados (normalmente 3 algarismos significativos), obtemos
w \approx -141\\ \mathrm{J}.
Comentário físico curto: o sinal negativo indica que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (perdeu energia para o exterior).

Passo 5

Parte (b): trabalho para expansão isotérmica reversível.
Teoria e fórmula: para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho é dado por
w_{\text{rev}} = -nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right),
onde n é o número de mols, R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}). Essa expressão vem de integrar w=-\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{int}}\,dV usando P_{\text{int}}=nRT/V (lei dos gases ideais) e lembrando que o processo reversível usa pressão interna do gás a cada passo.
Cálculo passo a passo:
Primeiro, a razão de volumes (note que podemos usar volumes em qualquer unidade consistente, aqui usamos dm^3 ou m^3; o quociente é adimensional):
\frac{V_f}{V_i} = \frac{16{,}5\\ \mathrm{dm}^{3}}{12{,}7\\ \mathrm{dm}^{3}} = \frac{0{,}0165\\ \mathrm{m}^{3}}{0{,}0127\\ \mathrm{m}^{3}} \approx 1{,}29921.
Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = \ln(1{,}29921)\approx 0{,}26136.
Agora aplicar a fórmula com n=0{,}2803\\ \mathrm{mol}, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T=320\\ \mathrm{K}:
w_{\text{rev}} = -\;0{,}2803\times 8{,}314\times 320 \times 0{,}26136 \approx -194{,}8\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
w_{\text{rev}} \approx -195\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho reversível (módulo) é maior do que o trabalho contra uma pressão externa fixa menor (ou maior) — aqui vemos que |w_{\text{rev}}| > |w_{\text{const}}|, ou seja, o processo reversível extraiu mais trabalho do gás.

Passo 6

Comparação numérica e comentário sobre sinais: dos cálculos temos
\text{(a) } w = -141\\ \mathrm{J},
\text{(b) } w_{\text{rev}} = -195\\ \mathrm{J}.
Ambos são negativos (o gás realizou trabalho no ambiente). A diferença numérica mostra que o trabalho depende de como a expansão é feita (o caminho): processos diferentes entre os mesmos estados inicial e final dão trabalhos diferentes.

Passo 7

Parte (c): Trabalho — função de caminho ou de estado? Justificativa.
Resposta conceitual direta: o trabalho é uma função de caminho (não é função de estado).
Justificativa didática e usando o exemplo numérico: uma função de estado depende apenas do estado inicial e final do sistema; exemplos de funções de estado são energia interna U, entalpia H, entropia S (para estados bem definidos). Se o trabalho fosse uma função de estado, qualquer processo que leve o sistema do mesmo estado inicial ao mesmo estado final daria o mesmo valor de trabalho. No entanto, no exemplo deste exercício fizemos exatamente isso: mesma temperatura e mesmos volumes inicial e final, mas obtivemos dois valores distintos para o trabalho:
w_{\text{const}} = -141\\ \mathrm{J}\quad\text{e}\quad w_{\text{rev}} = -195\\ \mathrm{J}.
Como os valores são diferentes, o trabalho depende do caminho seguido (pressão externa fixa versus processo reversível). Portanto trabalho é função de caminho, não é função de estado.
Observação extra curta: para um gás ideal em transformação isotérmica, a energia interna \Delta U=0, então a quantidade de calor trocada q satisfaz q=-w; mesmo assim q e w continuam dependendo do caminho.

Resposta

a) -141\\ \mathrm{J}
b) -195\\ \mathrm{J}
c) Trabalho é função de caminho (não é função de estado).

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