Uma planta industrial armazena etanol saturado a 192^{\circ} \mathrm{C} em um tanque de 10 m^{3}, sendo que 40 \% do volume total do tanque é ocupado por etanol na fase líquida. Na temperatura de armazenamento a pressão de saturação do Etanol é de 25,2 bar, aproximadamente. Faça as considerações necessárias e calcule a massa TOTAL de etanol presente no tanque.

Passo 1

O enunciado pede a massa TOTAL de etanol num tanque de 10\\ \mathrm{m^{3}} à temperatura de armazenamento 192^\circ\mathrm{C}, sabendo que 40\% do volume está em fase líquida e que, a 192^\circ\mathrm{C}, a pressão de saturação do etanol é 25,2\\ \mathrm{bar}. Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{Volume total do tanque } V_{\text{tot}} = 10\\ \mathrm{m^{3}}
\text{Fração líquida (por volume)} = 40\% \Rightarrow V_{\ell} = 0{,}40\cdot V_{\text{tot}}çãí
\text{Fração vapor (por volume)} = 60\% \Rightarrow V_{v} = 0{,}60\cdot V_{\text{tot}}çã
T = 192^\circ\mathrm{C} = 465\\ \mathrm{K}
P_{\text{sat}} = 25{,}2\\ \mathrm{bar}
A meta é calcular m_{\text{total}} = m_{\ell} + m_{v}, onde m_{\ell} é a massa do líquido e m_{v} a massa do vapor.

Passo 2

Escolha do método e considerações/assunções (passei a régua do que é necessário para resolver sem tabelas):
  • Para o vapor usaremos a aproximação do gás ideal na forma
PV = m R_{\text{específico}} T,í
ou seja
m_{v} = \frac{P V_{v}}{R_{\text{esp}} T}.
Vou justificar e mostrar como obter R_{\text{esp}} abaixo.
  • Para o líquido precisamos da densidade saturada à 192^\circ\mathrm{C}. Como não nos foram fornecidas tabelas de propriedades, faço a consideração razoável de estimar a densidade do líquido usando a densidade conhecida à temperatura ambiente e a dilatação volumétrica linear média. Ou seja, assumo que o líquido é aproximadamente incompressível e que o aumento de volume com a temperatura é dado por um coeficiente volumétrico médio \alpha. Esta é uma aproximação comum quando não há tabela disponível — eu explico e calculo passo a passo.

Passo 3

Calcular os volumes das fases:
V_{\ell} = 0{,}40\cdot 10 = 4{,}0\\ \mathrm{m^{3}},
V_{v} = 0{,}60\cdot 10 = 6{,}0\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Massa do vapor pelo gás ideal — preparação das constantes:
  • Converter a pressão para Pascal: 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, logo
P = 25{,}2\\ \mathrm{bar} = 25{,}2\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}52\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Massa molar do etanol: M = 46{,}07\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}04607\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante universal dos gases: R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • A constante específica do etanol é
R_{\text{esp}} = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618}{0{,}04607}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Calculemos R_{\text{esp}}:
R_{\text{esp}} \approx 180{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora aplicamos a equação do gás ideal para o vapor:
m_{v} = \frac{P V_{v}}{R_{\text{esp}} T} = \frac{2{,}52\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 6{,}0\\ \mathrm{m^{3}}}{180{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 465\\ \mathrm{K}}.
Calcule passo a passo o numerador e denominador:
\text{numerador} = 2{,}52\times 10^{6}\times 6{,}0 = 1{,}512\times 10^{7}
\text{denominador} = 180{,}5\times 465 \approx 83{,}932{,}5
m_{v} \approx \frac{1{,}512\times 10^{7}}{83{,}932{,}5}\\ \mathrm{kg}\approx 180{,}3\\ \mathrm{kg}.
Portanto, a massa do vapor é aproximadamente 180{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Estimativa da massa do líquido — escolher densidade do líquido:
  • Densidade do etanol à 20^\circ\mathrm{C}: \rho_{0}=789\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão conhecido).
  • Diferença de temperatura: \Delta T = 192-20 = 172\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente volumétrico médio de expansão do etanol: tomo \alpha \approx 1{,}1\times 10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}. Explico: líquidos orgânicos como etanol têm coeficiente da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}; sem tabela, essa é uma escolha razoável para estimativa.
  • Quando o volume aumenta com temperatura:
V(T) = V_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).
Como \rho = m/V e m é constante, a densidade à temperatura T fica
\rho(T) = \frac{\rho_{0}}{1+\alpha\Delta T}.
Calculemos:
1+\alpha\Delta T = 1 + 1{,}1\times 10^{-3}\times 172 = 1 + 0{,}1892 = 1{,}1892.
\rho(192^\circ\mathrm{C}) \approx \frac{789}{1{,}1892}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 663{,}9\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando, tomo \rho_{\ell}\approx 664\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora a massa do líquido é
m_{\ell} = \rho_{\ell}\,V_{\ell} = 664\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 4{,}0\\ \mathrm{m^{3}} = 2{,}656\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Somar massas das fases:
m_{\text{total}} = m_{\ell} + m_{v} \approx 2{,}656\\ \mathrm{kg} + 180{,}3\\ \mathrm{kg} = 2{,}836{,}3\\ \mathrm{kg}.
Arredondando para três algarismos significativos (considerando as aproximações feitas), podemos escrever m_{\text{total}}\approx 2{,}84\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Comentários finais e incerteza (rápido e sincero):
  • A maior fonte de incerteza aqui é a densidade do líquido à 192^\circ\mathrm{C}. Se tivéssemos a tabela de propriedades saturadas do etanol obteríamos \rho_{\ell} com precisão e possivelmente um resultado um pouco diferente (variação de algumas dezenas de kg). A massa do vapor, calculada pela lei dos gases ideais, é relativamente menor (≈180 kg) e menos sensível.
  • Em provas, se não derem tabelas, explicar a suposição (como eu fiz) e mostrar o cálculo com \alpha é aceitável; se derem tabela, usar os valores tabelados.

Resposta

2{,}84\times 10^{3}\\ \mathrm{kg}

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