A temperatura em uma corrente de processo deve ser continuamente monitorada. Sua função é verificar o quanto a temperatura da corrente varia durante o dia. A medida de temperatura é realizada utilizando um termômetro de vidro (contendo mercúrio no seu interior) instalado na tubulação. Com o tempo, as marcações de temperatura desapareceram do vidro, restando somente a marca de T=20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que no interior do termômetro existem 1 grama de mercúrio e que o diâmetro interno do bulbo cilíndrico do termômetro é de 1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}, determine a altura da coluna de mercúrio, em relação a base do termômetro, quando a temperatura estiver a 20^{\circ} \mathrm{C} e a altura da coluna quando a temperatura estiver a 100^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. A altura da coluna de mercúrio em relação à base do termômetro quando a temperatura é 20^\circ\mathrm{C}.
  2. A altura da coluna de mercúrio quando a temperatura é 100^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Massa de mercúrio: m=1\\ \mathrm{g}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro interno do bulbo cilíndrico (capilar): d=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Não foi dada explicitamente a densidade do mercúrio nem o coeficiente de expansão; adotaremos valores padrão para mercúrio (ver passo seguinte).

Passo 2

Geometria do problema e relação básica volume↔altura:
  • O bulbo/capilar interno é cilíndrico, portanto a área da seção transversal é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro interno. Aqui A tem unidade \mathrm{m}^2.
  • O volume total do mercúrio dentro do tubo até a base é o volume do cilindro de altura h:
V = A\,h.
Portanto, a altura h é dada por
h=\frac{V}{A}.
Expliquei o que é cada variável: V (volume do mercúrio), A (área da seção), h (altura da coluna).

Passo 3

Relação massa ↔ densidade ↔ volume:
  • A massa, densidade e volume estão relacionados por
\rho=\frac{m}{V}\quad\Longrightarrow\quad V=\frac{m}{\rho},
onde \rho é a densidade do mercúrio à temperatura considerada (unidade \mathrm{kg/m^3}).
  • Substituindo em h=V/A obtemos a fórmula prática que vamos usar:
h=\frac{m}{\rho\,A}.
Aqui m é conhecido, A depende de d (conhecido) e \rho depende da temperatura.

Passo 4

Valores físicos adotados e comportamento com a temperatura:
  • Vamos adotar o valor padrão da densidade do mercúrio a 20^\circ\mathrm{C}:
\rho_{20}=1{,}36\times10^{4}\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Esta é uma valor usual aproximado de \,13600\\ \mathrm{kg/m^3}.)
  • O mercúrio tem coeficiente de dilatação volumétrica aproximadamente
\beta = 1{,}82\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Explicação didática: quando a temperatura aumenta, o volume do mercúrio cresce segundo
V(T)=V_{0}\big(1+\beta\Delta T\big),
onde \Delta T=T-T_{0}. Como a massa permanece constante, a densidade varia como
\rho(T)=\frac{\rho_{0}}{1+\beta\Delta T}.
Aqui \rho_{0} é a densidade na temperatura de referência T_{0} (aqui 20^\circ\mathrm{C}) e \Delta T=T-20^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da área da seção A (passo a passo):
  • Usando d=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (1\times10^{-4})^{2}}{4} =\pi\cdot2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}
A\approx 7{,}85\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.
Expliquei: ao calcular d^{2} temos 1\times10^{-8}, dividido por 4 2{,}5\times10^{-9}, multiplicando por \pi obtemos aproximadamente 7{,}85\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Altura da coluna a 20^\circ\mathrm{C}:
  • Primeiro o volume do mercúrio a 20^\circ\mathrm{C}:
V_{20}=\frac{m}{\rho_{20}}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{1{,}36\times10^{4}} \approx 7{,}35\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Agora a altura usando h=V/A:
h_{20}=\frac{V_{20}}{A} \approx\frac{7{,}35\times10^{-8}}{7{,}85\times10^{-9}} \approx 9{,}36\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse valor grande vem do fato do diâmetro ser muito pequeno (coluna muito fina), então uma pequena massa ocupa uma altura grande.

Passo 7

Altura da coluna a 100^\circ\mathrm{C} (passo a passo usando dilatação):
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = 100^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=80^\circ\mathrm{C}.
  • Fator volumétrico 1+\beta\Delta T:
1+\beta\Delta T = 1 + 1{,}82\times10^{-4}\times80 = 1{,}01456.
  • Densidade do mercúrio a 100^\circ\mathrm{C}:
\rho_{100}=\frac{\rho_{20}}{1+\beta\Delta T} =\frac{1{,}36\times10^{4}}{1{,}01456} \approx 1{,}3403\times10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Volume a 100^\circ\mathrm{C}:
V_{100}=\frac{m}{\rho_{100}}\approx\frac{1{,}0\times10^{-3}}{1{,}3403\times10^{4}} \approx 7{,}46\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Altura a 100^\circ\mathrm{C}:
h_{100}=\frac{V_{100}}{A} \approx\frac{7{,}46\times10^{-8}}{7{,}85\times10^{-9}} \approx 9{,}50\\ \mathrm{m}.
Observação: alternativamente observe que h varia inversamente com \rho, então h_{100}=h_{20}\,(1+\beta\Delta T), que dá o mesmo número.

Passo 8

Interpretação final e incentivo:
  • A coluna sobe de cerca de 9{,}36\\ \mathrm{m} para 9{,}50\\ \mathrm{m} quando a temperatura aumenta de 20^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}. Esse acréscimo é aproximadamente 0{,}14\\ \mathrm{m} (14 cm).
  • Calma, é normal se assustar com números grandes — a razão é o diâmetro muito pequeno. Se você tivesse que fazer isso na prova, siga exatamente esses passos: calcule A, use V=m/\rho e ajuste \rho com \beta para temperaturas diferentes. Você consegue!

Resposta

\text{Altura a }20^\circ\mathrm{C}: 9{,}36\\ \mathrm{m}
\text{Altura a }100^\circ\mathrm{C}: 9{,}50\\ \mathrm{m}

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