Plote qualitativamente as respostas das seguintes funções de transferências, assuma que a entrada seja um degrau unitário.
d) \quad G(s)=\frac{s^{2}+4 s+1}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}-7 s+12\right)}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: plotar qualitativamente a resposta ao degrau unitário da função de transferência dada.
decompor Y(s) em frações parciais para inverter a transformada de Laplace termo a termo;
interpretar cada termo (constante, sen/cos, expoentes reais) para desenhar qualitativamente a resposta no tempo.
Antes de calcular, já dá para observar a estabilidade: há polos em s=3 e s=4 (parte real positiva). Isso implica que a resposta será instável (vai crescer sem limite). Também há polos em s=\pm j (eixo imaginário) que introduzem oscilações não amortecidas. Conclusão qualitativa antecipada: resposta com oscilações e crescimento exponencial (dominado por e^{4t}) — portanto sem valor final finito.
Passo 3
Construção das frações parciais e cálculo dos coeficientes (resíduos). Escrevo a forma geral da decomposição:
produto (s+j)(s-3)(s-4) em s=j: (j+j)(j-3)(j-4)=2j\cdot(j-3)\cdot(j-4).
Multiplicando com o s=j dá denominador j\cdot 2j\cdot(j-3)\cdot(j-4)=2j^{2}(j-3)(j-4)=-2(j-3)(j-4).
Calculo (j-3)(j-4)=j^{2}-7j+12=-1-7j+12=11-7j. Portanto denominador final -2(11-7j)=-22+14j.
Assim
valor inicial y(0)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{14}{85}-\dfrac{11}{15}+\dfrac{33}{68}\approx 0 (coincide com o teorema do valor inicial).
finais: como há polos em s=3,4 com parte real positiva, a resposta diverge — não existe valor final finito.
Passo 5
Interpretação qualitativa e como desenhar o gráfico:
no instante inicial t=0 a saída começa em y(0)=0;
há um termo harmônico \dfrac{14}{85}\cos t+\dfrac{22}{85}\sin t que produz oscilações de frequência 1\\ \text{rad/s} e amplitude inicial combinada pequena (ordem de 0{,}3);
há dois termos exponenciais reais: um cresce como e^{3t} com coeficiente negativo -\dfrac{11}{15} (gera uma contribuição negativa que cresce em magnitude) e outro cresce mais rápido como e^{4t} com coeficiente positivo \dfrac{33}{68} (gera contribuição positiva que cresce ainda mais rápido);
a combinação faz com que inicialmente a resposta mostre oscilações e possivelmente uma ligeira queda (por causa do termo negativo em e^{3t}), mas para tempos maiores o termo +\dfrac{33}{68}e^{4t} domina — portanto a resposta cresce rapidamente e positivamente, com oscilações sobrepostas. Assim o gráfico qualitativo: começa em zero, pequenas oscilações no começo, depois crescimento exponencial acelerado para +∞ (com ondulações da frequência 1 rad/s visíveis como pequena oscilação sobre a curva de crescimento).
conclusão prática: sistema instável, resposta ao degrau diverge; não há regime permanente.
Passo 6
Orientação rápida para desenhar o esboço à mão:
desenhe eixos t (horizontal) e y (vertical);
marque y(0)=0;
perto de t=0 faça pequenas oscilações de período 2\pi (porque frequência 1 rad/s);
a partir de algum t intermédio, desenhe uma curva que cresce exponencialmente e rapidamente para cima — a envoltória do sinal deve crescer como e^{4t};
sobre essa envoltória crescente, desenhe as ondulações de frequência 1 rad/s (amplitude relativa das ondulações é pequena comparada ao crescimento exponencial para t grande).