1. Plote qualitativamente as respostas das seguintes funções de transferências, assuma que a entrada seja um degrau unitário.
    d) \quad G(s)=\frac{s^{2}+4 s+1}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}-7 s+12\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: plotar qualitativamente a resposta ao degrau unitário da função de transferência dada.
  • A função de transferência fornecida é
G(s)=\frac{s^{2}+4s+1}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}-7s+12\right)}.
  • Para entrada degrau unitário, a saída em Laplace é Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}.
  • Informações relevantes que extraí: fatorando o denominador,
s^{2}-7s+12=(s-3)(s-4),
portanto os polos de G(s) (e de Y(s) exceto pelo pólo adicional em s=0 do degrau) são s=\pm j, s=3, s=4.

Passo 2

Plano de ataque (sem ainda resolver): para obter a resposta ao degrau, vou:
  1. montar Y(s)=\dfrac{G(s)}{s}=\dfrac{s^{2}+4s+1}{s\,(s^{2}+1)(s-3)(s-4)};
  2. decompor Y(s) em frações parciais para inverter a transformada de Laplace termo a termo;
  3. interpretar cada termo (constante, sen/cos, expoentes reais) para desenhar qualitativamente a resposta no tempo.
    Antes de calcular, já dá para observar a estabilidade: há polos em s=3 e s=4 (parte real positiva). Isso implica que a resposta será instável (vai crescer sem limite). Também há polos em s=\pm j (eixo imaginário) que introduzem oscilações não amortecidas. Conclusão qualitativa antecipada: resposta com oscilações e crescimento exponencial (dominado por e^{4t}) — portanto sem valor final finito.

Passo 3

Construção das frações parciais e cálculo dos coeficientes (resíduos). Escrevo a forma geral da decomposição:
\frac{s^{2}+4s+1}{s\,(s^{2}+1)(s-3)(s-4)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}+\frac{D}{s-3}+\frac{E}{s-4}.
Agora calculo cada coeficiente usando o método de resíduos (avaliação direta nos polos simples).
  1. Polo em s=0 (coeficiente A):
A=\lim_{s\to 0} s\cdot Y(s) =\left.\frac{s^{2}+4s+1}{(s^{2}+1)(s-3)(s-4)}\right|_{s=0} =\frac{1}{(1)(-3)(-4)}=\frac{1}{12}.
  1. Polo em s=3 (coeficiente D):
D=\lim_{s\to 3}(s-3)Y(s) =\left.\frac{s^{2}+4s+1}{s\,(s^{2}+1)(s-4)}\right|_{s=3}.
Calculo numérico: numerador 3^{2}+4\cdot3+1=9+12+1=22. Denominador 3\cdot(9+1)\cdot(3-4)=3\cdot10\cdot(-1)=-30. Logo
D=\frac{22}{-30}=-\frac{11}{15}\approx -0{,}73333.
  1. Polo em s=4 (coeficiente E):
E=\lim_{s\to 4}(s-4)Y(s) =\left.\frac{s^{2}+4s+1}{s\,(s^{2}+1)(s-3)}\right|_{s=4}.
Numerador 4^{2}+4\cdot4+1=16+16+1=33. Denominador 4\cdot(16+1)\cdot(4-3)=4\cdot17\cdot1=68. Logo
E=\frac{33}{68}.
  1. Polos em s=\pm j (termo \dfrac{Bs+C}{s^{2}+1}). Para obter B e C uso o resíduo em s=j:
R_j=\lim_{s\to j}(s-j)Y(s) =\left.\frac{s^{2}+4s+1}{s\,(s+j)(s-3)(s-4)}\right|_{s=j}.
Calculo passo a passo:
  • numerador em s=j: j^{2}+4j+1=-1+4j+1=4j.
  • produto (s+j)(s-3)(s-4) em s=j: (j+j)(j-3)(j-4)=2j\cdot(j-3)\cdot(j-4).
    Multiplicando com o s=j dá denominador j\cdot 2j\cdot(j-3)\cdot(j-4)=2j^{2}(j-3)(j-4)=-2(j-3)(j-4).
    Calculo (j-3)(j-4)=j^{2}-7j+12=-1-7j+12=11-7j. Portanto denominador final -2(11-7j)=-22+14j.
    Assim
R_j=\frac{4j}{-22+14j}.
Racionalizando:
R_j=\frac{4j(-22-14j)}{(-22)^2+(14)^2}=\frac{56-88j}{680}=\frac{7-11j}{85}.
Seja R_j=a+jb com a=\dfrac{7}{85},\\ b=-\dfrac{11}{85}.
A contribuição temporal dos polos complexos conjugados é
2\Re\{R_j e^{jt}\}=2\bigl(a\cos t - b\sin t\bigr).
Logo os coeficientes B e C no termo \dfrac{Bs+C}{s^{2}+1} satisfazem
B=2a=\frac{14}{85},\qquad C=-2b=\frac{22}{85}.
Numéricamente B\approx0{,}1647 e C\approx0{,}2588.
Resumo dos coeficientes exatos:
A=\frac{1}{12},\quad B=\frac{14}{85},\quad C=\frac{22}{85},\quad D=-\frac{11}{15},\quad E=\frac{33}{68}.

Passo 4

Inversão da transformada de Laplace termo a termo e interpretação física:
  • \dfrac{A}{s} corresponde a A (constante no tempo).
  • \dfrac{Bs+C}{s^{2}+1} corresponde a B\cos t + C\sin t.
  • \dfrac{D}{s-3} corresponde a D\,e^{3t}.
  • \dfrac{E}{s-4} corresponde a E\,e^{4t}.
Portanto a resposta no tempo é
y(t)=\frac{1}{12}+\frac{14}{85}\cos t+\frac{22}{85}\sin t-\frac{11}{15}e^{3t}+\frac{33}{68}e^{4t},\qquad t\ge 0.
Verificações rápidas (consistência):
  • valor inicial y(0)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{14}{85}-\dfrac{11}{15}+\dfrac{33}{68}\approx 0 (coincide com o teorema do valor inicial).
  • finais: como há polos em s=3,4 com parte real positiva, a resposta diverge — não existe valor final finito.

Passo 5

Interpretação qualitativa e como desenhar o gráfico:
  • no instante inicial t=0 a saída começa em y(0)=0;
  • há um termo harmônico \dfrac{14}{85}\cos t+\dfrac{22}{85}\sin t que produz oscilações de frequência 1\\ \text{rad/s} e amplitude inicial combinada pequena (ordem de 0{,}3);
  • há dois termos exponenciais reais: um cresce como e^{3t} com coeficiente negativo -\dfrac{11}{15} (gera uma contribuição negativa que cresce em magnitude) e outro cresce mais rápido como e^{4t} com coeficiente positivo \dfrac{33}{68} (gera contribuição positiva que cresce ainda mais rápido);
  • a combinação faz com que inicialmente a resposta mostre oscilações e possivelmente uma ligeira queda (por causa do termo negativo em e^{3t}), mas para tempos maiores o termo +\dfrac{33}{68}e^{4t} domina — portanto a resposta cresce rapidamente e positivamente, com oscilações sobrepostas. Assim o gráfico qualitativo: começa em zero, pequenas oscilações no começo, depois crescimento exponencial acelerado para +∞ (com ondulações da frequência 1 rad/s visíveis como pequena oscilação sobre a curva de crescimento).
  • conclusão prática: sistema instável, resposta ao degrau diverge; não há regime permanente.

Passo 6

Orientação rápida para desenhar o esboço à mão:
  • desenhe eixos t (horizontal) e y (vertical);
  • marque y(0)=0;
  • perto de t=0 faça pequenas oscilações de período 2\pi (porque frequência 1 rad/s);
  • a partir de algum t intermédio, desenhe uma curva que cresce exponencialmente e rapidamente para cima — a envoltória do sinal deve crescer como e^{4t};
  • sobre essa envoltória crescente, desenhe as ondulações de frequência 1 rad/s (amplitude relativa das ondulações é pequena comparada ao crescimento exponencial para t grande).

Resposta

y(t)=\frac{1}{12}+\frac{14}{85}\cos t+\frac{22}{85}\sin t-\frac{11}{15}e^{3t}+\frac{33}{68}e^{4t},\qquad t\ge 0.