Como se pode determinar experimentalmente o módulo de elasticidade de um material?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como, na prática (experimentalmente), determinar o módulo de elasticidade de um material.
Informações disponíveis do enunciado: nenhuma medida ou tipo específico do material foi fornecido. Portanto há liberdade para indicar o procedimento padrão.
Observação útil para o que vem a seguir: existem vários “módulos de elasticidade” (por exemplo o módulo de Young, o módulo de cisalhamento , o módulo de volume
). Como o pedido é genérico e o mais comum em ensaios de laboratório é o módulo de Young, a resolução vai se focar em como determinar experimentalmente o módulo de Young (o chamado módulo de elasticidade à tração), e também apontar alternativas para casos especiais.
Informações disponíveis do enunciado: nenhuma medida ou tipo específico do material foi fornecido. Portanto há liberdade para indicar o procedimento padrão.
Observação útil para o que vem a seguir: existem vários “módulos de elasticidade” (por exemplo o módulo de Young, o módulo de cisalhamento
Passo 2
Escolha do método experimental (por que usar o ensaio de tração):
- O método mais direto, simples de entender e usado em provas/indústria é o ensaio de tração (ensaio uniaxial): aplica-se uma força ao longo de um corpo-de-prova e mede-se a força
e a variação de comprimento . A razão é que o módulo de Young aparece diretamente na relação linear entre tensão e deformação nessa configuração. - Outros métodos (flexão, torção, ondas elásticas, indentação) também existem e serão citados depois; mas o ensaio de tração é o método básico e o que a maioria dos professores espera que saiba explicar.
Passo 3
Descrição do equipamento e do corpo-de-prova (o que precisa estar pronto):
- Máquina de ensaio universal (capaz de aplicar força controlada e registrar
). - Dispositivo de medição de deformação: extensômetro mecânico ou extensômetro eletrônico (strain gauge) ou técnica óptica (DIC — digital image correlation). Extensômetro é preferível para medir pequenas deformações elásticas com precisão.
- Corpo-de-prova usinado segundo norma (por exemplo ASTM/ISO) com comprimento de gabarito
e seção transversal conhecida (por exemplo seção circular com raio ou retangular com largura e altura ). Medir e com régua/caliper micrométrico antes do ensaio. - Condições controladas: temperatura constante, evitar folgas nos garras, marcar a linha de referência para extensômetro.
Passo 4
Definições fundamentais (fórmulas e o que cada símbolo significa):
- Tensão (engenheira)
: é a força aplicada dividida pela área original do corpo-de-prova:
onde
é a força instantânea medida (em N) e
é a área da seção transversal original (em m^2).
- Deformação (engenheira)
: é a variação relativa do comprimento na região de gabarito:
onde
é o alongamento medido (em m) e
é o comprimento de gabarito original (em m).
- Lei de Hooke (região elástica linear): para pequenas deformações elásticas, a tensão e a deformação são proporcionais:
onde
é o módulo de Young (módulo de elasticidade) que queremos determinar (em Pa).
Passo 5
Como extrair
a partir dos dados medidos (procedimento passo a passo):
- Executa-se o ensaio de tração e registra-se simultaneamente
e (ou registra-se e se usar extensômetro que entrega deformação direta). - A partir dos pares
calcula-se para cada ponto a tensão e a deformação com as fórmulas do Passo 4. - Plota-se a curva tensão
em função de deformação . Esta curva tem, no início, uma região aproximadamente linear (região elástica/proporcional). Identifique essa região; normalmente é a parte inicial até o limite proporcional (pequenas deformações, por exemplo até 0,1%–0,5% para alguns metais; o valor exato depende do material). - Determina-se o declive (slope) da curva nessa região linear: esse declive é o módulo
. Existem duas maneiras práticas: - Método simples com dois pontos na região linear:
- Método mais preciso: aplicar ajuste linear por mínimos quadrados (regressão linear) aos pontos da região linear; o coeficiente angular da reta ajustada é
. A fórmula do coeficiente angular da regressão linear (slope) é
onde e são as médias das deformações e tensões usadas no ajuste.
Passo 6
Forma direta de calcular
a partir de
,
,
e
(fórmula prática):
- Usando
e e , isolamos :
Essa fórmula é útil se você medir um pequeno incremento de força que fique claramente dentro da região elástica e medir o correspondente
.
Passo 7
Exemplo numérico curto (para ver as contas que se fazem na prova):
Suponha corpo-de-prova com e
. Aplicou-se força
e mediu-se alongamento
.
Calcule:
Suponha corpo-de-prova com
Calcule:
Fazendo as contas com calma:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Dividindo:
Comentário: esse cálculo mostra que valores pequenos de(frações de milímetro) estão por trás de módulos grandes como os dos aços; por isso é importante medir alongamentos com instrumentos precisos.
Passo 8
Cuidados experimentais e fontes de erro que valem atenção (dicas de prova e de laboratório):
- Medir corretamente
e antes do ensaio; erro nessas medidas afeta . - Use extensômetro na região de gabarito para medir
diretamente; medir deslocamento da máquina sem corrigir pela rigidez da máquina introduz erro. - Trabalhe sempre dentro da região elástica (evitar plasticidade/estricção). Identificar corretamente o limite proporcional.
- Evitar escorregamento nos dentes das garras e desalinhamento (pode causar curvatura e leituras erradas).
- Considerar temperatura:
depende de temperatura; indicar a temperatura do ensaio. - Fazer repetibilidade (mínimo 3 corpos-de-prova) e calcular média e desvio-padrão.
- Usar norma técnica (por exemplo ASTM E8 / ISO 6892) para procedimento padronizado.
Passo 9
Outros métodos (quando usar alternativas):
- Ensaio de flexão (3 pontos) para materiais frágeis ou quando não é possível fazer corpo-de-prova de tração; interpretação exige fórmulas de flexão para relacionar carga e deflexão com
. - Ensaio de torção (para medir o módulo de cisalhamento
). Depois relaciona-se e se a razão de Poisson for conhecida:
- Métodos dinâmicos: velocidade de ondas elásticas (ultrassom) em barras permite obter
via (densidade) e velocidade . Para ondas longitudinais ideais: (uso cuidadoso — fórmula depende das condições de contorno). - Indentação (micro/nanoindentação) para películas finas ou pequenas regiões; deduz
da resposta da carga-deformação local.
Passo 10
Resumo prático final (passos que eu mesmo faria em prova/lab):
- Prepare corpo-de-prova e meça
e . - Monte na máquina de tração e instale extensômetro no gabarito.
- Aplique carga crescente, registre
e até passar um pouco da região elástica. - Converta para
, identifique a região linear inicial. - Ajuste uma reta por mínimos quadrados nessa região; o coeficiente angular é
. - Reporte
com unidade e incerteza, indicando temperatura e norma usada.
Resposta
Realizando um ensaio de tração: medir
,
,
e
, calcular
e
, traçar
versus
e obter o declive da região elástica linear; em fórmula,
ou diretamente