1) (3,0 pontos)

Deseja-se resfriar 1000 kg de uvas de 25^{\circ} \mathrm{C} até -2^{\circ} \mathrm{C}. Para este processamento determine o calor que deve ser removido para se atingir o nível de temperatura desejado.

Dados:

Composição Centesimal: Água: 80,56 \%; Proteínas: 0,66 \%; Gorduras: 0,58 \%; carboidratos: 17,77 \%; fibras: 1,00 \%; Cinzas: 0,44 \%.
Ponto de início de congelamento: -2,1^{\circ} \mathrm{C}.
Calor Latente de Fusão: 269 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede: resfriar 1000\\ \mathrm{kg} de uvas de 25^\circ\mathrm{C} até -2^\circ\mathrm{C} e determinar o calor que deve ser removido. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
m=1000\\ \mathrm{kg},
T_i=25^\circ\mathrm{C},\quad T_f=-2^\circ\mathrm{C},
Composição centesimal:
\text{Água}=80{,}56\%,\\ \text{Proteínas}=0{,}66\%,\\ \text{Gorduras}=0{,}58\%,Áí
\text{Carboidratos}=17{,}77\%,\\ \text{Fibras}=1{,}00\%,\\ \text{Cinzas}=0{,}44\%.
Ponto de início de congelamento:
T_{\text{fusão}}=-2{,}1^\circ\mathrm{C}.ã
Calor latente de fusão:
L_f=269\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação: nesta etapa eu só enumerei o que foi dado; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Verificação se há mudança de fase (congelamento): o congelamento da água começaria em T_{\text{fusão}}=-2{,}1^\circ\mathrm{C}ã. O estado final pedido é T_f=-2^\circ\mathrm{C}. Como
-2^\circ\mathrm{C} > -2{,}1^\circ\mathrm{C},
não se alcança o ponto em que a água começa a congelar. Logo, durante o resfriamento de 25^\circ\mathrm{C} até -2^\circ\mathrm{C} não ocorre mudança de fase (não precisamos remover calor latente de fusão). Isso simplifica: só precisamos calcular o calor sensível (associado à variação de temperatura).

Passo 3

Fórmula a usar (calor sensível): para uma massa m que muda de temperatura de T_i para T_f,
Q = m\, c\, (T_f-T_i),
onde
  • Q é o calor trocado (kJ). Se Q<0 significa que calor foi removido; normalmente reportamos o módulo como “calor removido”.
  • m é a massa (kg).
  • c é o calor específico do material (kJ/kg \cdotK).
  • T_f-T_i é a variação de temperatura (K ou ^\circC; a diferença é a mesma em ambos).
Nosso \Delta T é
\Delta T = T_f-T_i = -2 - 25 = -27\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Escolha do calor específico c: o enunciado deu a composição centesimal (80{,}56% água). Como as uvas são dominadas por água, uma aproximação comumente usada é assumir o calor específico igual ao da água pura:
c_{\text{água}}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.á
Essa é uma aproximação simples e razoável porque a água responde por mais de 80\% da massa. Para ser mais rigoroso (mostrar didaticamente), podemos também estimar um calor específico médio ponderado usando calores específicos típicos dos componentes (valores típicos usados em alimentos): água 4{,}18, proteínas 1{,}7, gorduras 1{,}7, carboidratos 1{,}6, fibras 1{,}3, cinzas 0{,}2 (kJ/kg·K). Fazendo a média ponderada por fração em massa (convertendo percentagens em frações):
c_{\text{médio}}=\sum_i w_i c_ié
c_{\text{médio}}=0{,}8056\cdot4{,}18+0{,}0066\cdot1{,}7+0{,}0058\cdot1{,}7+0{,}1777\cdot1{,}6+0{,}01\cdot1{,}3+0{,}0044\cdot0{,}2.é
Calculando termo a termo:
0{,}8056\cdot4{,}18=3{,}3674,
0{,}0066\cdot1{,}7=0{,}01122,\quad 0{,}0058\cdot1{,}7=0{,}00986,
0{,}1777\cdot1{,}6=0{,}28432,\quad 0{,}01\cdot1{,}3=0{,}013,\quad 0{,}0044\cdot0{,}2=0{,}00088.
Somando:
c_{\text{médio}}\approx 3{,}3674+0{,}01122+0{,}00986+0{,}28432+0{,}013+0{,}00088 = 3{,}6867\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.é
Portanto temos duas estimativas razoáveis:
  • aproximação simples: c\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (água),
  • aproximação ponderada por composição: c_{\text{médio}}\approx 3{,}6867\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é (mais realista).

Passo 5

Cálculo do calor removido com as duas aproximações (só para comparação didática), lembrando que o calor removido em módulo é |Q|.
Usando c=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
Q = m\,c\,\Delta T = 1000\cdot 4{,}18 \cdot (-27) = -112860\\ \mathrm{kJ}.
Módulo (calor a ser removido): 112860\\ \mathrm{kJ} = 112{,}86\\ \mathrm{MJ}.
Usando c_{\text{médio}}=3{,}6867\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é (método mais detalhado):
Q = 1000\cdot 3{,}6867 \cdot (-27) \approx -99540,6\\ \mathrm{kJ}.
Módulo: 99540,6\\ \mathrm{kJ} \approx 99{,}54\\ \mathrm{MJ}.

Passo 6

Interpretação e escolha da resposta final: como o enunciado forneceu a composição, a estimativa ponderada por componentes é mais fiel ao material real; portanto, considero a estimativa com c_{\text{médio}}é a resposta mais realista. Observe que em ambos os casos não foi necessário usar o calor latente L_f, porque a temperatura final ficou acima do ponto de início de congelamento.

Resposta

99{,}54\\ \mathrm{MJ}

Exercícios relacionados