(4 pontos) Gas propano é queimado com ar estequiométrico a \mathrm{P}_{0}=100 \mathrm{kPa}, \mathrm{T}_{0}=298 \mathrm{~K} . \mathrm{Os} \mathrm{pro} da combustão resfriam e saem da câmara de combustão a 450 K .
(a) Quanto calor foi fornecido pela mistura para cada 1 kg de propano?
(b) Determine o ponto de orvalho dos produtos.
(c) Qual massa de água (para 1 kg de combustível) estará na fase líquida se a mistura dos produ resfriada para 34^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que eu peguei do enunciado):
  • Dados do problema:
    • Combustível: propano gasoso.
    • Condições iniciais da mistura (combustível + ar): \mathrm{P}_{0}=100\\ \mathrm{kPa}, \mathrm{T}_{0}=298\\ \mathrm{K}.
    • A combustão é estequiométrica com ar seco (assumir ar como \mathrm{O}_2 + \mathrm{N}_2 com razão molar \mathrm{N}_2/\mathrm{O}_2=3{,}76).
    • Os produtos de combustão saem da câmara resfriados a \;450\\ \mathrm{K}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Quanto calor foi fornecido pela mistura para cada 1\\ \mathrm{kg} de propano (ou seja, o calor liberado pela reação quando os produtos saem a 450\\ \mathrm{K})?
    (b) Determinar o ponto de orvalho (temperatura de orvalho) dos produtos a pressão total \mathrm{P}_0=100\\ \mathrm{kPa}.
    (c) Para 1\\ \mathrm{kg} de combustível: qual a massa de água que estará na fase líquida se os produtos forem resfriados até 34^\circ\mathrm{C} (ou seja, 307\\ \mathrm{K})?
Informações que vou usar (valores físicos e propriedades, explicarei e justificarei quando usar):
  • Massa molar do propano: M_{C_3H_8}=44{,}096\\ \mathrm{g/mol}.
  • Reação de combustão estequiométrica (gás): \mathrm{C}_3\mathrm{H}_8 + 5\\ \mathrm{O}_2 \rightarrow 3\\ \mathrm{CO}_2 + 4\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}e, com ar seco, para cada mol de \mathrm{O}_2 vêm 3{,}76 mol de \mathrm{N}_2.
  • Entalpias padrão de formação a 298\\ \mathrm{K} (valores tabelados que vou usar):
    \Delta H_f^\circ(\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8,\;g)=-104{,}7\\ \mathrm{kJ/mol},
    \Delta H_f^\circ(\mathrm{CO}_2,\;g)=-393{,}5\\ \mathrm{kJ/mol},
    \Delta H_f^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O},\;g)=-241{,}8\\ \mathrm{kJ/mol},
    \Delta H_f^\circ(\mathrm{O}_2)=\Delta H_f^\circ(\mathrm{N}_2)=0.
  • Calores específicos molares (assumidos constantes no intervalo 298\to450\\ \mathrm{K}, valores médios tabelados):
    c_{p,\mathrm{CO}_2}=37{,}11\\ \mathrm{J/(mol\;K)},
    c_{p,\mathrm{H}_2\mathrm{O},g}=33{,}58\\ \mathrm{J/(mol\;K)},
    c_{p,\mathrm{N}_2}=29{,}12\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Fórmula que vou usar para calor liberado por mol de combustível: Q_{\text{por mol}} = \Delta H^\circ_{\text{reação}} + \sum_i n_i c_{p,i} (T_{\text{saida}}-T_0),çãonde \Delta H^\circ_{\text{reação}}=\sum (\nu_i \Delta H_{f,i}^\circ)_{\text{produtos}} - \sum (\nu_j \Delta H_{f,j}^\circ)_{\text{reagentes}}çã.
  • Para ponto de orvalho: usar pressão parcial de vapor de água nos produtos p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} = y_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} P_0 e igualar a pressão de vapor saturado p_{sat}(T_{dp}). Vou usar a equação de Antoine para obter T_{dp}.
  • Para quantidade de água líquida ao resfriar a 34^\circ\mathrm{C}: calcular quantos mols de água permanecem no vapor em equilíbrio (usando p_{sat}(34^\circ\mathrm{C})) e subtrair do total de água formada; converter para massa por 1\\ \mathrm{kg} de combustível.

Passo 2

Equilíbrio estequiométrico e contagem de mols (base: 1 mol de C _3H _8) — explicando passo a passo:
  • Reação (já escrita): \mathrm{C}_3\mathrm{H}_8 + 5\\ \mathrm{O}_2 \rightarrow 3\\ \mathrm{CO}_2 + 4\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}.
  • Com ar seco, os gases inertes que acompanham o oxigênio são \mathrm{N}_2. Para cada mol de \mathrm{O}_2 3{,}76 mol de \mathrm{N}_2. Logo, para 5 mol de \mathrm{O}_2 vêm 5\times3{,}76=18{,}8 mol de \mathrm{N}_2.
  • Assim, por 1 mol de propano consumido, os produtos gasosos são:
    • 3 mol de \mathrm{CO}_2,
    • 4 mol de \mathrm{H}_2\mathrm{O} (assumimos vapor a 450\\ \mathrm{K}),
    • 18{,}8 mol de \mathrm{N}_2.
  • Número total de mols de gás nos produtos (por 1 mol de combustível): n_{\text{prod,total}}=3+4+18{,}8=25{,}8\\ \text{mol}.
  • Fracção molar da água nos produtos (a 450\\ \mathrm{K}, antes de qualquer condensação): y_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}=\frac{4}{25{,}8}=0{,}15504\ldots
  • Pressão parcial da água nos produtos (à pressão total \;P_0=100\\ \mathrm{kPa}): p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}=y_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}\;P_0=0{,}15504\times100\\ \mathrm{kPa}=15{,}504\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calor de reação padrão a 298\\ \mathrm{K} (entidade fundamental: entalpia de formação) — ensino rápido do conceito e cálculo:
  • Lembrete didático: entalpia padrão de reação \Delta H^\circ_{\text{reação}}çã é obtida por soma das entalpias padrão de formação dos produtos menos a soma das entalpias padrão de formação dos reagentes, todas as quantidades por mol de reação. Isso representa o calor liberado se reagentes e produtos estiverem todos a 298\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando aos nossos números (valores em kJ/mol): \Delta H^\circ_{\text{reação}} = \big[3(-393{,}5)+4(-241{,}8)\big] - \big[1(-104{,}7)+5(0)\big].çãCalculando cada termo: \sum\Delta H_f^\circ(\text{produtos}) = 3(-393{,}5)+4(-241{,}8) = -1\,180{,}5 - 967{,}2 = -2\,147{,}7\\ \mathrm{kJ/mol},
\sum\Delta H_f^\circ(\text{reagentes}) = -104{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}.
Então
\Delta H^\circ_{\text{reação}} = -2\,147{,}7 - (-104{,}7) = -2\,043{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}.çã
  • Interpretação: a combustão padrão do propano (reagentes e produtos a 298\\ \mathrm{K}) libera 2\,043{,}0\\ \mathrm{kJ} por mol de propano (sinal negativo indica exotérmico). Esse é o poder calorífico inferior/nível de formação sem considerar condensação de água (como usamos água gasosa nas entalpias).

Passo 4

Corrigir para a temperatura de saída dos produtos ( 450\\ \mathrm{K}) usando calores específicos — ensino do conceito de sensível:
  • Conceito: quando produtos saem a 450\\ \mathrm{K}, além do calor de reação padrão, parte da energia do processo foi usada para aquecer os produtos de 298 para 450\\ \mathrm{K}. Para gases ideais, a variação de entalpia sensível é \Delta h = c_p (T_2-T_1) por mol.
  • Calcular soma dos c_p molares ponderados dos produtos (valores em \mathrm{J/(mol\;K)}): \sum n_i c_{p,i} = 3(37{,}11)+4(33{,}58)+18{,}8(29{,}12).Computando: 3(37{,}11)=111{,}33,\quad 4(33{,}58)=134{,}32,\quad 18{,}8(29{,}12)=547{,}456.Soma: \sum n_i c_{p,i}=111{,}33+134{,}32+547{,}456=793{,}106\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • A variação de entalpia sensível por mol de combustível ao aquecer de 298 para 450\\ \mathrm{K} ( \Delta T=152\\ \mathrm{K}) é: \Delta h_{\text{sensible}} = 793{,}106\cdot152\\ \mathrm{J/mol}=120{,}552\\ \mathrm{J/mol}=120{,}552\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Assim, a variação total de entalpia por mol de combustível, do estado reagentes a 298\\ \mathrm{K} até produtos a 450\\ \mathrm{K}, é: Q_{\text{por mol}}=\Delta H^\circ_{\text{reação}}+\Delta h_{\text{sensible}} = -2\,043{,}0\\ \mathrm{kJ/mol} + 120{,}552\\ \mathrm{kJ/mol}.çã
Q_{\text{por mol}} = -1\,922{,}448\\ \mathrm{kJ/mol}.
Interpretação: por mol de propano a reação libera 1\,922{,}45\\ \mathrm{kJ} quando produtos estão a 450\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Converter para base por massa: calor por 1\\ \mathrm{kg} de propano — explicando a conversão mol ↔ massa
  • Número de mols de propano em 1\\ \mathrm{kg}: n_{C_3H_8}=\frac{1000\\ \mathrm{g}}{44{,}096\\ \mathrm{g/mol}}=22{,}6817\\ \mathrm{mol/kg}.
  • Calor por 1\\ \mathrm{kg} (multiplicando Q_{\text{por mol}} por n_{C_3H_8}): Q_{\text{por kg}} = 1{,}922{,}448\\ \mathrm{kJ/mol}\times 22{,}6817\\ \mathrm{mol/kg}=43\,604{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.(observe que escrevi o módulo positivo do calor liberado; o processo é exotérmico e a mistura fornece esse calor).
  • Resultado arredondado com bom número de algarismos significativos: Q_{\text{por kg}}\approx 43{,}60\\ \mathrm{MJ/kg}.

Passo 6

Determinar o ponto de orvalho dos produtos (explicação do método e cálculo passo a passo):
  • Conceito: o ponto de orvalho é a temperatura à qual a pressão parcial do vapor de água nos gases é igual à pressão de vapor saturado do líquido: p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} = p_{sat}(T_{dp}).
  • Nós já calculámos a pressão parcial da água nos produtos: p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}=15{,}504\\ \mathrm{kPa}.
  • Para encontrar T_{dp} uso a equação de Antoine (forma empírica que relaciona pressão de vapor e temperatura). Para água, uma forma válida no intervalo de interesse é (constantes em unidades mmHg e °C): \log_{10} p_{\mathrm{mmHg}} = A - \frac{B}{C+T_C},com A=8{,}07131, B=1\,730{,}63, C=233{,}426. Procedimento:
    • converto p_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} para mmHg: 1\\ \mathrm{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}, logo p_{\mathrm{mmHg}}=\frac{15{,}504}{0{,}133322}=116{,}35\\ \mathrm{mmHg}.
    • inverter a fórmula de Antoine para obter T_C (em °C): T_C = \frac{B}{A-\log_{10}p_{\mathrm{mmHg}}} - C.
    • calculando: \log_{10}p_{\mathrm{mmHg}}=\log_{10}(116{,}35)=2{,}0668,
T_C=\frac{1\,730{,}63}{8{,}07131-2{,}0668}-233{,}426 \approx 54{,}69^\circ\mathrm{C}.
  • Converter para kelvin, se desejar: T_{dp}=54{,}69^\circ\mathrm{C}=327{,}84\\ \mathrm{K}.
  • Interpretação final: o ponto de orvalho dos produtos, à pressão total de 100\\ \mathrm{kPa}, é aproximadamente 54{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a massa de água líquida que se forma se os produtos forem resfriados a 34^\circ\mathrm{C} (método e contas passo a passo):
  • Ideia física: ao resfriar, a quantidade máxima de vapor de água que pode permanecer no gás é aquela correspondente à pressão de vapor saturado a 34^\circ\mathrm{C}. O excesso de vapor condensa. Resolvemos em base molar por mol de combustível e depois convertemos para massa por 1\\ \mathrm{kg} de combustível.
  • Primeiro obtenho p_{sat}(34^\circ\mathrm{C}) usando Antoine (mesma forma). Com T_C=34: \log_{10}p_{\mathrm{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1\,730{,}63}{233{,}426+34} = 1{,}603307\ldots
p_{\mathrm{mmHg}}=10^{1{,}603307}=40{,}117\\ \mathrm{mmHg}.
Convertendo para kPa:
p_{sat}(34^\circ\mathrm{C})=40{,}117\times0{,}133322=5{,}347\\ \mathrm{kPa}.
  • Fracção molar de vapor de água em equilíbrio a 34^\circ\mathrm{C} (denotar n_v = mols de água ainda no vapor, por mol de combustível). No estado com condensação, os gases que permanecem no vapor são:
    • 3 mol \mathrm{CO}_2,
    • 18{,}8 mol \mathrm{N}_2,
    • n_v mol \mathrm{H}_2\mathrm{O (g)}.
      Então número total de mols de gás em fase vapor é n_{g} = 3+18{,}8 + n_v = 21{,}8 + n_v.
  • A condição de equilíbrio (lei das pressões parciais) diz: \frac{n_v}{21{,}8 + n_v}\;P_0 = p_{sat}(34^\circ\mathrm{C}).Resolvendo para n_v: n_v = \frac{p_{sat}/P_0 \times 21{,}8}{1 - p_{sat}/P_0}.Substituindo p_{sat}=5{,}347\\ \mathrm{kPa} e P_0=100\\ \mathrm{kPa}: \frac{p_{sat}}{P_0}=0{,}05347,\qquad n_v=\frac{0{,}05347\times21{,}8}{1-0{,}05347}=1{,}2311\\ \text{mol (por mol de combustível)}.í
  • Inicialmente havia 4 mol de água por mol de combustível; portanto a quantidade condensada por mol de combustível é: n_{\text{cond}} = 4 - n_v = 4 - 1{,}2311 = 2{,}7689\\ \text{mol (por mol de combustível)}.í
  • Converter para massa de água condensada por mol de combustível usando M_{H_2O}=18{,}015\\ \mathrm{g/mol}: m_{\text{cond, por mol fuel}} = 2{,}7689\times18{,}015 = 49{,}863\\ \mathrm{g/mol\;fuel}.
  • Converter por mol de combustível para por 1\\ \mathrm{kg} de combustível usando n_{C_3H_8}=22{,}6817\\ \mathrm{mol/kg} (do Passo 5): m_{\text{cond, por kg fuel}}=49{,}863\\ \mathrm{g/mol}\times22{,}6817\\ \mathrm{mol/kg}=1\,130{,}7\\ \mathrm{g/kg}\approx1{,}131\\ \mathrm{kg/kg}.
  • Interpretação: para cada 1\\ \mathrm{kg} de propano queimado com ar estequiométrico e com produtos resfriados até 34^\circ\mathrm{C}, condensam-se aproximadamente 1{,}131\\ \mathrm{kg} de água líquida.

Passo 8

Pequena verificação de coerência e resumo numérico (rápido):
  • Calor liberado por kg: cerca de 43{,}6\\ \mathrm{MJ/kg} — compatível com valores conhecidos do poder calorífico do propano (ordem de 46 MJ/kg para PCI bruto; diferença devido a não condensação total da água ou escolhas nos dados tabulados).
  • Ponto de orvalho: 54{,}7^\circ\mathrm{C} — faz sentido já que a pressão parcial da água era relativamente alta ( \sim15{,}5\\ \mathrm{kPa}).
  • Massa de água condensada a 34^\circ\mathrm{C}: \sim1{,}13\\ \mathrm{kg} por kg de combustível — é comum que a massa de vapor de água gerada supere a massa do combustível, porque a água é leve e formada em grande quantidade stoquiométrica.

Resposta

(a) Q \approx 43{,}60\\ \mathrm{MJ/kg} (calor liberado pela mistura por 1\\ \mathrm{kg} de propano, produtos a 450\\ \mathrm{K}).
(b) T_{dp}\approx 54{,}69^\circ\mathrm{C} (ou 327{,}84\\ \mathrm{K}).
(c) m_{\text{água líquida}}\approx 1{,}131\\ \mathrm{kg}áí de água líquida por 1\\ \mathrm{kg} de propano.

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