(2,5 pontos) Uma porção de 200 \mathrm{~cm}^{3} de solo apresentou: y_{\mathrm{d}}=14 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{w}=18 \% e y_{\mathrm{s}}=27,0 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. a) Determinar o grau de saturação desse solo. b) Qual a quantidade de água a ser acrescentada para se obter \mathrm{Sr}=100 \% ?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume da amostra: V = 200\\ \mathrm{cm}^3.
  • Peso específico a seco (unidade de massa por volume): \gamma_d = 14{,}0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
  • Teor de água: w = 18\% (ou seja w = 0{,}18 em fração).
  • Peso específico dos grãos (partículas sólidas): \gamma_s = 27{,}0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
O enunciado pede:
a) Determinar o grau de saturação S_r do solo (em %).
b) Calcular a quantidade de água a ser acrescentada para obter S_r = 100\% (quantidade de água em \mathrm{cm}^3).
Observação: vou usar o peso específico da água \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (valor padrão).

Passo 2

Definições e fórmulas fundamentais (explicadas passo a passo):
  • Grau de saturação: S_r = \frac{V_w}{V_v},
onde V_w é o volume de água presente e V_v é o volume de vazios (poros).
  • Razão de vazios (void ratio): e = \frac{V_v}{V_s},
onde V_s é o volume de sólidos.
  • Relação entre peso específico dos grãos, razão de vazios e peso específico a seco. A massa (ou peso específico) a seco depende de quantos sólidos há por unidade de volume total. Pode provar-se a relação
\gamma_d = \frac{G_s\,\gamma_w}{1+e},
onde G_s é a massa específica relativa (gravidade específica) dos sólidos, definida por
G_s = \frac{\gamma_s}{\gamma_w}.
Essa fórmula vem de escrever a massa dos sólidos por volume total: \text{massa dos sólidos por volume} = G_s \rho_w/(1+e)ó, convertendo para peso específico com \gamma_w. Uma forma direta útil, ao usar \gamma_s = G_s\gamma_w, é
1+e = \frac{\gamma_s}{\gamma_d}.
Portanto
e = \frac{\gamma_s}{\gamma_d} - 1.
  • Fórmula prática para o grau de saturação em termos de w, G_s e e. Partindo de w = \dfrac{M_w}{M_s} (massa de água sobre massa de sólidos) e usando M_s = G_s \rho_w V_s e V_w = M_w/\rho_w, chega-se a
S_r = \frac{w\,G_s}{e},
onde w é a fração (não a percentagem), G_s é \gamma_s/\gamma_w e e é a razão de vazios.
Vou usar essas fórmulas para calcular e, G_s, depois S_r. Depois, para a parte (b), calcularei o volume de vazios V_v, o volume de água existente V_w e a diferença necessária.

Passo 3

Cálculo de G_s e da razão de vazios e.
  • Primeiro G_s:
G_s = \frac{\gamma_s}{\gamma_w} = \frac{27{,}0}{9{,}81} \approx 2{,}752.
  • Agora e usando e = \dfrac{\gamma_s}{\gamma_d} - 1:
e = \frac{27{,}0}{14{,}0} - 1 = 1{,}928571\ldots - 1 = 0{,}928571\ldots \approx 0{,}9286.

Passo 4

Cálculo do grau de saturação S_r usando \displaystyle S_r=\frac{w\,G_s}{e}.
  • Substituindo os valores (com w=0{,}18):
S_r = \frac{0{,}18 \times 2{,}752}{0{,}928571\ldots} = \frac{0{,}49536}{0{,}928571\ldots} \approx 0{,}5334.
  • Em percentagem:
S_r \approx 53{,}34\% \approx 53{,}3\%.
Breve comentário de verificação: S_r entre 0 e 1, logo 0,533 é razoável para w=18% e G_s≈2,75.

Passo 5

Agora parte (b): quantidade de água a acrescentar para saturar ( S_r=100\%).
Procedimento:
  • Calcular o volume de vazios V_v da amostra: V_v = \frac{e}{1+e}\,V.
  • Calcular o volume de água existente V_{w,\mathrm{ini}}. Usando V_{w} = w\,G_s\,V_s e V_s = \dfrac{V}{1+e}, obtemos
V_{w,\mathrm{ini}} = \frac{w\,G_s}{1+e}\,V.
  • A água a acrescentar (volume) é
\Delta V_w = V_v - V_{w,\mathrm{ini}}.
(para saturação completa V_w deve igualar V_v).
Cálculos numéricos (lembre que V=200\\ \mathrm{cm}^3):
  • Primeiro 1+e = 1{,}928571\ldots.
  • Volume de vazios:
V_v = \frac{e}{1+e}V = \frac{0{,}928571\ldots}{1{,}928571\ldots}\times 200\\ \mathrm{cm}^3 \approx 0{,}481481\ldots\times 200 = 96{,}2963\\ \mathrm{cm}^3.
  • Volume de água inicial:
V_{w,\mathrm{ini}} = \frac{w\,G_s}{1+e}\,V = \frac{0{,}18\times 2{,}752}{1{,}928571\ldots}\times 200 \approx \frac{0{,}49536}{1{,}928571\ldots}\times 200 \approx 51{,}386\\ \mathrm{cm}^3.
  • Volume de água a acrescentar:
\Delta V_w = 96{,}2963 - 51{,}386 \approx 44{,}9103\\ \mathrm{cm}^3.
Arredondando razoavelmente, a resposta prática é \Delta V_w \approx 44{,}9\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

S_r \approx 53{,}3\%
\Delta V_w \approx 44{,}9\\ \mathrm{cm}^3

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