(2 pontos) O volume residual \alpha é definido como a diferença entre o volume no estado de gás ideal e o volume real do gás conforme a equação abaixo,
\alpha=\frac{R T}{p}-V
Para um determinado gás, \alpha foi medido a 100^{\circ} \mathrm{C} a diferentes volumes molares e o resultado é expresso conforme a expressão empírica \alpha=2-3 / V^{2}, com V e \alpha expressos em \mathrm{L} \mathrm{mol}^{-1}. A velocidade do som é dada pela seguinte equação,
v^{2}=-k V^{2}\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T}
Calcule a velocidade do som neste gás a 100^{\circ} \mathrm{C} quando o volume molar é 2.3 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}. Considere k=1.4 e uma massa molar de 100 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei todos os valores do enunciado):
  • Definição do volume residual: \displaystyle \alpha=\frac{R T}{p}-V.
  • Expressão empírica medida a 100^\circ\mathrm{C}: \displaystyle \alpha=2-\frac{3}{V^{2}}, com \alpha e V em \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
  • Temperatura: 100^\circ\mathrm{C}, ou seja T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Ponto onde avaliar: V=2{,}3\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
  • Equação da velocidade do som: \displaystyle v^{2}=-k V^{2}\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T}.
  • Constante adiabática dada: k=1{,}4.
  • Massa molar: M=100\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}1\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
O objetivo: calcular v (em \mathrm{m\\ s^{-1}}) para esse gás no estado indicado.

Passo 2

Isolar a pressão a partir da definição do residual \alpha.
A relação é
\alpha=\frac{R T}{p}-V.
Isolando p obtemos
p=\frac{R T}{V+\alpha}.
Explicação curta: é só multiplicar ambos os lados por p e depois isolar p. Aqui R é a constante universal dos gases ( \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}), T temperatura em \mathrm{K}, V volume molar e \alpha o residual.

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{\partial p}{\partial V}\right)_T usando a expressão p=\dfrac{R T}{V+\alpha(V)}.
Como \alpha depende de V, ao derivar usamos a regra da cadeia:
\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = -R T\,(V+\alpha)^{-2}\,\left(1+\frac{d\alpha}{dV}\right).
Explicando: deriva-se p=RT\cdot(V+\alpha)^{-1}. A derivada de (V+\alpha)^{-1} é -1\cdot (V+\alpha)^{-2} vezes a derivada interna (1+\alpha'), onde \alpha'=\dfrac{d\alpha}{dV}.

Passo 4

Derivar a expressão empírica \alpha(V).
A expressão dada (em unidades de L mol ^{-1}) é
\alpha=2-\frac{3}{V^{2}}.
Derivando em relação a V (aqui o cálculo da derivada pode ser feito usando V em \mathrm{L\\ mol^{-1}}; como explicado abaixo, essa derivada numérica é compatível quando convertermos vol./alpha para SI):
\frac{d\alpha}{dV} = \frac{6}{V^{3}}.
Agora avaliar em V=2{,}3\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}:
\frac{d\alpha}{dV}\Big|_{V=2{,}3} = \frac{6}{(2{,}3)^{3}} \approx 0{,}49303.
Comentário sobre unidades e conversão: a expressão dada usa \mathrm{L\\ mol^{-1}}. Para as razões (como V/(V+\alpha)) a conversão de litros para metros cúbicos cancela (1 L = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}), e a derivada numérica \dfrac{d\alpha}{dV} calculada com V em L tem o mesmo valor numérico que a derivada correspondente quando V e \alpha são convertidos para \mathrm{m^3\\ mol^{-1}}. Ainda assim, para usar R (em J mol ^{-1}K ^{-1}) e obter unidades SI, converteremos V e \alpha para \mathrm{m^3\\ mol^{-1}} nas próximas contas.

Passo 5

Converter volumes para SI e avaliar \alpha numericamente.
  • Converter V: \displaystyle V=2{,}3\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}=2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\\ mol^{-1}}.
  • Calcular \alpha em L e converter para \mathrm{m^3}:
\alpha_{\text{(L)}}=2-\frac{3}{(2{,}3)^{2}}=2-\frac{3}{5{,}29}=1{,}432989690722\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}}.
\alpha=1{,}432989690722\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\\ mol^{-1}}.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula para v^{2}.
Primeiro reorganizo a expressão para evitar sinais confusos: usando a derivada do passo 3,
v^{2}=-k V^{2}\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = k V^{2}\,R T\;\frac{1+\alpha'}{(V+\alpha)^{2}}.
Explicação: o menos do \partial p/\partial V cancela porque essa derivada já tem um sinal negativo.
Agora atenção às unidades: a expressão acima dá v^{2} em unidades de energia por mol (J/mol), porque R T tem unidade J/mol. Para obter v^{2} em \mathrm{m^2\\ s^{-2}} (unidade física de velocidade ao quadrado) é preciso dividir por massa por mol (kg/mol), isto é pela massa molar M. Portanto a expressão final a usar é
v^{2}=\frac{k R T\,V^{2}\,(1+\alpha')}{(V+\alpha)^{2}\,M}.

Passo 7

Calcular numericamente cada termo (usar valores em SI).
  • R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}.
  • T=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • k=1{,}4.
  • V=2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\\ mol^{-1}}.
  • \alpha=1{,}432989690722\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3\\ mol^{-1}}.
  • \alpha'\approx 0{,}493027 (do passo 4, valor adimensional).
  • M=0{,}1\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
Calcule R T:
R T = 8{,}314462618\times 373{,}15 \approx 3102{,}5417\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Calcule o fator \left(\dfrac{V}{V+\alpha}\right)^{2}:
\frac{V}{V+\alpha}=\frac{2{,}3}{2{,}3+1{,}432989690722}\approx 0{,}615979, \qquad \left(\frac{V}{V+\alpha}\right)^{2}\approx 0{,}379420.
(na expressão acima cancelou o 10^{-3} comum a V e \alpha, por isso foi usado os valores em L para esta razão; o resultado é idêntico com os valores em \mathrm{m^3}.)
Agora montar tudo:
v^{2}=\frac{1{,}4\times 3102{,}5417\times 0{,}379420\times (1+0{,}493027)}{0{,}1}.
Calcular passo a passo:
1+ \alpha' \approx 1{,}493027,
1{,}4\times 3102{,}5417 \approx 4343{,}5584,
4343{,}5584\times 0{,}379420 \approx 1648{,}0339,
1648{,}0339\times 1{,}493027 \approx 2460{,}5628\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Dividindo por M=0{,}1\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}} para obter \mathrm{m^2\\ s^{-2}}:
v^{2}\approx \frac{2460{,}5628}{0{,}1}=24605{,}628\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
Finalmente,
v=\sqrt{24605{,}628}\approx 156{,}9\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: então a velocidade do som calculada a 100^\circ\mathrm{C} e V=2{,}3\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}} é cerca de 157\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}. Está tudo consistente: atenção às conversões de unidades e ao fato de dividir por M para passar de J/mol para J/kg (m2/s2).

Resposta

\displaystyle v\approx156{,}9\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}

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