Um tanque contém 15 kg de ar seco e 0.17 kg vapor de água a 30^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa de pressão total. Determine A umidade relativa

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho para a gente não se perder):
  • Massa de ar seco: m_d = 15\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de vapor d’água presente: m_v = 0,17\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura: 30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pressão total do gás (ar seco + vapor): p_{tot} = 100\\ \mathrm{kPa}.
O que se pede:
  • Determinar a umidade relativa (ou seja, a razão entre a pressão parcial do vapor e a pressão de saturação do vapor à temperatura dada, expressa em porcentagem).

Passo 2

O que é “umidade relativa” e como a vamos calcular:
  • A umidade relativa \varphi é definida por
\varphi = \frac{p_v}{p_{sat}(T)}\times 100\%,
onde:
  • p_v é a pressão parcial do vapor d’água na mistura (a pressão que o vapor exerceria sozinho no volume),
  • p_{sat}(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T (valor que se encontra em tabela de vapor saturado / steam tables).
Explicação rápida: se p_v=p_{sat} então o ar está saturado ( \varphi=100\%). Se p_v for menor, a umidade relativa é menor.

Passo 3

Como vamos obter p_v sem conhecer o volume do tanque:
  • Pelo princípio de Dalton e pela lei dos gases ideais, a pressão parcial de cada componente pode ser escrita como
p_v = \frac{m_v R_v T}{V},\qquad p_d = \frac{m_d R_d T}{V},
onde:
  • m_v e m_d são as massas de vapor e de ar seco (já dadas),
  • R_v é a constante específica do vapor d’água ( R_v \approx 461,5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • R_d é a constante específica do ar seco ( R_d \approx 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin,
  • V é o volume do tanque (desconhecido).
  • A pressão total é a soma das pressões parciais:
p_{tot} = p_v + p_d = \frac{T}{V}\bigl(m_v R_v + m_d R_d\bigr).
A ideia útil: o fator \dfrac{T}{V} aparece em ambas expressões, então dá para eliminar V e T e obter p_v diretamente em função de p_{tot} e das massas.

Passo 4

Derivação da fórmula prática para p_v:
  • A partir de p_{tot} = \dfrac{T}{V}\bigl(m_v R_v + m_d R_d\bigr) e de p_v = \dfrac{m_v R_v T}{V}, dividindo a última pela expressão de p_{tot} obtemos
\frac{p_v}{p_{tot}} = \frac{m_v R_v}{m_v R_v + m_d R_d}.
  • Portanto
p_v = p_{tot}\cdot\frac{m_v R_v}{m_v R_v + m_d R_d}.
Essa fórmula é muito prática: ela nos dá a pressão parcial do vapor sem precisar do volume do tanque — perfeito para a prova e para o nosso problema.

Passo 5

Agora aplicamos números (primeiro transformar temperatura e pressões nas unidades adequadas):
  • Temperatura absoluta:
T = 30^{\circ}\mathrm{C} = 303,15\\ \mathrm{K}.
(Embora T apareça cancelando na fórmula final, é bom lembrar a conversão.)
  • Pressão total em pascal:
p_{tot} = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Constantes:
R_v = 461,5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad R_d = 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calculemos m_v R_v e m_d R_d:
m_v R_v = 0,17\cdot 461,5 = 78,455\\ \mathrm{J/K},
m_d R_d = 15\cdot 287,05 = 4305,75\\ \mathrm{J/K}.
  • Soma:
m_v R_v + m_d R_d = 78,455 + 4305,75 = 4384,205\\ \mathrm{J/K}.
  • Fração e p_v:
p_v = 100000\cdot\frac{78,455}{4384,205} \approx 100000\cdot 0,0179003 = 1790,03\\ \mathrm{Pa}.
Em quilopascal:
p_v \approx 1,790\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Precisamos da pressão de saturação do vapor à 30^{\circ}\mathrm{C}:
  • Pelo steam table (tabela de vapor saturado) a pressão de saturação a 30^{\circ}\mathrm{C} é
p_{sat}(30^{\circ}\mathrm{C}) \approx 4,246\\ \mathrm{kPa}.
(Esse valor foi consultado na tabela de vapor saturado para 30^{\circ}\mathrm{C}.)

Passo 7

Cálculo final da umidade relativa:
  • Usando \varphi = \dfrac{p_v}{p_{sat}}\times 100\%,
\varphi = \frac{1,790}{4,246}\times 100\% \approx 0,4216\times 100\% = 42,16\%.
Arredondando de forma apropriada (dados iniciais com poucas cifras significativas), fica
\varphi \approx 42,2\%.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo:
  • Resultado: a umidade relativa fica em torno de 42{,}2\%. Isso significa que o ar está seco a moderadamente úmido — bem abaixo da saturação.
  • Ótimo trabalho por ter chegado até aqui! Se quiser, eu mostro como calcular a massa de água que seria necessária para alcançar 100% (saturação) no mesmo volume — é um exercício bom pra fixar o conceito.

Resposta

\varphi \approx 42{,}2\%

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