Um tanque contém 15 kg de ar seco e 0.17 kg vapor de água a 30^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa de pressão total. Determine
o volume do tanque.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
  • massa do ar seco: m_a = 15\\ \mathrm{kg};
  • massa do vapor de água: m_v = 0,17\\ \mathrm{kg};
  • temperatura: 30^\circ\mathrm{C};
  • pressão total: P = 100\\ \mathrm{kPa}.
O que se pede:
  • determinar o volume do tanque V.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação simples):
  • Pressão total de uma mistura de gases ideais segue a lei de Dalton: a pressão total é a soma das pressões parciais. Ou seja,
P = P_a + P_v,
onde P_a é a pressão parcial do ar seco e P_v é a pressão parcial do vapor de água.
  • Para cada componente (assumindo comportamento de gás ideal) vale a equação dos gases ideais na forma com massa:
P\,V = m\,R\,T,
onde:
  • P é a pressão parcial do componente (em Pa);
  • V é o volume comum do tanque (em \mathrm{m}^3);
  • m é a massa do componente (em kg);
  • R é a constante específica do gás (em \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Para o ar seco usamos R_a = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Para vapor d’água usamos R_v = 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Precisamos converter a temperatura e a pressão para unidades SI:
    • T = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
    • P = 100\\ \mathrm{kPa} = 100{,}000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Escrever as equações dos gases ideais para cada componente, usando suas pressões parciais:
P_a\,V = m_a R_a T, \qquad P_v\,V = m_v R_v T.
Como P_a = P - P_v (lei de Dalton), podemos escrever o volume V de duas formas e igualá-las:
V=\frac{m_a R_a T}{P - P_v} = \frac{m_v R_v T}{P_v}.
Agora isolamos P_v. Igualando e simplificando T:
\frac{m_a R_a}{P - P_v}=\frac{m_v R_v}{P_v}.
Multiplicando em cruz e reorganizando:
m_a R_a P_v = m_v R_v (P - P_v) = m_v R_v P - m_v R_v P_v.
Colocando os termos com P_v no mesmo lado:
P_v\,(m_a R_a + m_v R_v) = m_v R_v P.
Logo:
P_v = \frac{m_v R_v P}{m_a R_a + m_v R_v}.

Passo 4

Calcular P_v substituindo os números (mostrando contas passo a passo):
  • Primeiro calcule m_a R_a e m_v R_v:
m_a R_a = 15\cdot 287 = 4\,305\\ \mathrm{J/K},
m_v R_v = 0{,}17\cdot 461{,}5 = 78{,}455\\ \mathrm{J/K}.
  • Somando:
m_a R_a + m_v R_v = 4\,305 + 78{,}455 = 4\,383{,}455\\ \mathrm{J/K}.
  • Numerador:
m_v R_v P = 78{,}455\cdot 100{,}000 = 7\,845\,500\\ \text{(unidades que resultarão em Pa após divisão)}.ãóã
  • Portanto:
P_v = \frac{7\,845\,500}{4\,383{,}455}\\ \mathrm{Pa} \approx 1\,789{,}8\\ \mathrm{Pa}.
Em kPa isso é P_v \approx 1{,}7898\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Agora calculamos o volume V. Podemos usar a equação do vapor:
V=\frac{m_v R_v T}{P_v}.
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro m_v R_v T:
R_v T = 461{,}5\cdot 303{,}15 = 139\,903{,}725\\ (\mathrm{J/kg}),
m_v R_v T = 0{,}17\cdot 139\,903{,}725 = 23\,783{,}63225.
  • Dividindo por P_v:
V = \frac{23\,783{,}63225}{1\,789{,}8}\\ \mathrm{m}^3 \approx 13{,}29\\ \mathrm{m}^3.
(Verificação rápida usando a parte do ar: V = \dfrac{m_a R_a T}{P-P_v} também dá o mesmo \approx 13{,}29\\ \mathrm{m}^3.)

Passo 6

Verificação física rápida (importante na prova): a pressão parcial do vapor P_v que encontramos é 1{,}79\\ \mathrm{kPa}, menor que a pressão de saturação da água a 30^\circ\mathrm{C} (que é cerca de 4{,}25\\ \mathrm{kPa}). Isso significa que o vapor não está saturado (ou seja, está em forma de vapor de água no ar e a hipótese de gás ideal para o vapor é aceitável). Bom sinal — resultado consistente.

Resposta

V = 13{,}29\\ \mathrm{m}^3

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